本科毕业设计（论 文）

基于有限差分的油水两相渗流方程求解

中国石油大学（华东）本科毕业设计（论文）

摘 要

为了保证油藏的稳定产油量以及最终采收率，以获得最大的经济效益，必须对油 藏的压力以及饱和度等参数进行监控，因而需要对油藏进行模拟，以确定合适的开采 时间、注水量、开采速度等问题，因而油藏数值模拟对于提高油田效益是至关紧要 的。油水两相渗流方程描述了原油开发过程中的油水两相流动过程，是一对耦合的偏 微分方程，针对这组方程采用有限差分方法实现其数值求解，以对油藏的压力、饱和 度进行即时监控。本文应用隐式压力——显式饱和度解法（IMPES方法）来对油藏油水两 相一维渗流进行模型建立与求解，这一方法来自于Sheldon等人，以及Stone和Gardner 的著作，基本思想是合并流体方程得到一个只含有压力的方程，某一时间步的压力求 解出来后，饱和度采用显式更新。经过Matlab编写程序，实现对一维油水两相渗流方 程的数值求解。

关键词： 油水两相；有限差分；压力；含水饱和度；油藏模拟

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ABSTRACT

Displacing oil by water is always used in the exploitation of the oil reservoir. In order to obtain the maximum economic benefits, the parameters of reservoir pressure and saturation should be monitored to ensure the stability of oil production and the ultimate recovery of the reservoir. Thus the reservoir must be simulated so as to determine the appropriate recovery time, water injection rate and recovery rate. It is necessary to establish the oil-water twophase flow model for the oil-water two-phase flow equation, coupled partial differential equations, can describe the oil-water two-phase flow in the process of crude oil development. Achieving the numerical solution according to this group of equations and using the finitedifference method can do real time monitoring for reservoir pressure and saturation so that appropriate measures could be taken to ensure the mining of oil production in high efficiency and sustainable. In this thesis, implicit pressure-explicit saturation solution (IMPES method) which is invented by Sheldon, etc. and from works of Stone’s and Gardner’s is applied for the building and solving of reservoir’s one-dimensional water-oil two-phase seepage model. TThe basic idea is combining the fluid equations to achieve a equation which contains only the pressure. After solving the pressure at the very time and step, the saturation will be displayed updated. Writing programs through Matlab, one-dimensional water-oil twophase seepage equations would be solved

Keywords: water-oil two phase; finite difference; pressure; water saturation; reservoir simulation

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目 录

第1章前 言.............................................................................................................................1
1.1 油藏数值模拟在油田开发中的重要意义......................................................................1
1.2 国内外研究方法现状......................................................................................................1
1.3 本文章节安排..................................................................................................................2
第2章相关基础知识.................................................................................................................3
2.1油藏渗流力学相关知识...................................................................................................3
2.2 有限差分法......................................................................................................................8
第3章油水两相渗流机理和求解...........................................................................................11
3.1 数学模型的建立............................................................................................................11
3.2 数学模型的求解的方法及参数处理............................................................................12
3.3 差分方程组得建立及求解............................................................................................15
3.4有关单位换算.................................................................................................................18
3.5 计算程序框图................................................................................................................20
3.6 计算实例........................................................................................................................21
第4章结 论...........................................................................................................................23
致 谢.......................................................................................................................................24
参考文献...................................................................................................................................25
附 录.......................................................................................................................................26

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第1章 前 言

1.1 油藏数值模拟在油田开发中的重要意义

油气藏是在单一圈闭中具有统一压力系统的油气聚集单元。在原始条件下，油气 藏处于平衡状态；当受到干扰（如打井、生产)时，原来的不平衡状态被打破，油气藏 处于动态变化中。油气藏从投入生产到最后废弃就是一个不断变化的动态过程。

描述或实现油气藏动态变化的过程叫做模拟，油藏数值模拟是用数值的方法来求 解描述油藏中流体渗流特征的数学模型，是一门将计算机、应用数学、油藏工程等结 合起来的综合性工程应用学科，在油气田开发方案设计和动态分析中有十分重要的作 用，为了保证油藏的稳定产油量以及最终采收率，以获得最大的经济效益，必须对油 藏的压力以及饱和度等参数进行监控，因而需要对油藏进行模拟，以确定合适的开采 时间、注水量、开采速度等问题，需建立油水两相渗流模型，以对油藏的压力、饱和 度进行即时监控，及时采取合适的开采措施来保障油田的高效、高产、持久生产,它能 够从油田实际出发对油藏进行精确地描述，以最少的投资、最合适的速度去获得最高 的最终采收率，也就是要获得最大的效益。

1.2 国内外研究方法现状

油藏模型中有压力的 、 和饱和度 、 两组未知量，目前基本上有两类求解 方法。一类是顺序求解法，即先求压力项，后求饱和度；另一类是联立求解法，即同 时求解压力项和饱和度项。同时，由于方程中含非线性系数，他们依赖于压力和饱和 度的变化，在求解数学模型时有如下几种处理方法：

(1)隐式压力显式饱和度方法（IMPES）

即隐式求解压力方程，显式求解饱和度方程。它属于顺序求解法的一种，是数值 模拟中最常用的、最简单的一种方法。具有占内存小、计算工作量小、方法简便等优 点。但该方法存在两个问题：第一，达西项的系数处理是显式的，因此对如锥进的问 题，由于井底周围流速高，压差变化大，而存在较大误差，对于强非线性问题的适应 性也差；第二，饱和度的计算是显式的，当时间步长较大时，会出现解的不稳定性。 因此，IMPES方法只适用于一般的弱非线性渗流问题，对于某些非线性问题如注气、气 锥或水锥等问题，IMPES方法无能为力，即使时间步长取得很小，仍会出现解的振荡或 算出的压力和饱和度为负值的情况，以至于模拟计算无法正常进行。

(2)半隐式方法

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半隐式方法属于联立求解的方法的一种，也是数值模拟中常用的一种方法。其基 本思路是：联立求解油相方程和水相方程，同时求出压力和饱和度，因此压力和饱和 度都是隐式求解。在计算过程中，半隐式方法对方程右端项的处理与IMPES方法完全相 同，不同之处在于对方程左端项的处理。它需要对方程左端的达西系数、产量项及毛 管压力进行泰勒级数展开，并忽略二阶小量，一阶导数项用n时刻的值。由于系数是处 理近似的，并未真正用n+1时刻的值，所以这种方法叫做半隐式方法。

(3)隐式压力隐式饱和度法（IMPIMS）

隐式压力隐式饱和度法实际上是IMPES方法和半隐式方法的混合变种，它也是属于 顺序求解方法的一种。它既有半隐式方法求解饱和度的特点，又保留了IMPES方法省内 存、省工作量的特点。

IMPIMS方法（The Implicit Pressure Implicit Saturation Method）实际上是 IMPIMS方法和半隐式方法的混合和变种，它也是属于顺序求解方法的一种。它既有半 隐式方法求解饱和度的特点，又保留了IMPES方法省内存、省工作量的特点。 IMPIMS方法的求解思路是：压力和饱和度分开顺序求解，求解压力时可直接利用IMPES 方法的压力求解方法，然后将求出的压力值 代入半隐式方法的水相差分方程中， 将该方程化为只有含水饱和度的一个变量的差分方程，再用隐式计算格式求解即可。 (4)全隐式方法

对于某些强非线性渗流问题如高速渗流等，即使使用半隐式方法也会引起计算结 果的波动，或者时间步长只能取到很小。为此提出了全隐式方法,这里简单介绍一种与 半隐式方法相类似的全隐式方法，即达西系数项也用泰勒级数展开并忽略二阶小量， 但一阶导数项不用 时刻的值而用 时刻的值，由此构成一个非线性的代数方程 组，可用牛顿迭代法或其他非线性代数方程组的解法进行求解。 1.3 本文章节安排

论文根据质量守恒原理建立了一维油水两相渗流的数学模型，经过逐步简化得到 实验室进行单管模型一维水驱油实验时的数学模型，利用IMPES方法对此模型进行处 理。第一部分首先列述了油藏渗流力学的相关知识，对油藏的油水渗流机理进行了详 细的介绍以及油水两相渗流方程的推导过程，然后对有限差分法的基础知识进行了详 细的介绍；第二部分主要是油水两相渗流模型的建立过程以及应用此方法对实例油藏 的模拟。最后综述了油水两相渗流方程的建立过程中所遇到的问题、模型建立的理想 条件及其准确性、针对实例模拟得出的结论。

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第2章 相关基础知识

2.1油藏渗流力学相关知识

(一)、渗流过程中的力学分析 油气水之所以能在岩石空隙中渗流，是各种力共同作用的结果。 1、流体的重力和重力势能

流体具有质量，在中立场中受到地球的吸引力而具有重力。在渗流过程中，流体的重 力和它的相对位置联系起来，就表现为重力势能。这种重力势能用压力表示为：

（2-

1） 式中 ---表示重力势能的压力，Pa ---流体密度， ---重力加速度， ---相对位置高差，

重力有时是动力，有时为阻力。

2、流体的质量和惯性力

惯性是物体所固有的一种物理特征，其大小取决于质量。流体质量的大小一般用密 度表示。流体由于具有质量，因此也具有惯性。当流体运动时，惯性使其总要维持原 状，因而惯性力在渗流过程中多表现为阻力。

根据牛顿第二定律，惯性力用压力表示为：

（2-

2） 式中， ---惯性力 ---质量 v ---速度 ---加速度

由于渗流时渗流速度通常很小，因此常忽略惯性力。

3、流体的粘度及粘滞力

粘滞力是流体的一种特殊属性。在流动的流体中，如果各层的流速不同，将有一 对作用力及反作用力，使原来快的流层减速，而慢的加速。这一对等值而又反向的力

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阻碍着流层的相对运动。流体的这种属性叫粘滞力。度量粘滞性大小的参数叫粘度。 由牛顿内摩擦定律表示为：

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（2-

3）

式中，A---两流层的接触面积，

---沿流层法线方向的流速梯度，

F---内摩擦力，N

---粘滞系数， 粘度的单位通常用 表示： 1

粘度的单位以 表示时成为泊（P）：

1P=100cP（厘泊）

在渗流中，粘滞力为阻力，且动力消耗主要用于克服渗流时流体的粘滞阻力。

4、岩石及流体的压缩性及弹性力

岩石和其中饱和的流体均具有压缩性（或弹性），因此使得在油气渗流过程中产 生弹性力。油气层岩石埋藏于地下几百米甚至几千米，油气层上面覆盖的岩柱压力被 油气层本身骨架和其中饱和的流体所承受。因此，储层岩石和其中的流体都处于受压 缩状态。油层除承受上覆岩柱压力外，本身也受油层压力。

油气层岩石和其他固体一样，在外力作用下，它的形状和体积都要发生变化；当 消除外力时，它又能恢复到原来的形状和大小。我们把岩石能恢复原状的性质叫岩石 的弹性，又称压缩性。

油气田在开采以前，油层内岩石和流体都处于均衡受力状态，各种力是相互平衡 的；

当油气层投入开采之后，油气层的压力不断下降，上覆岩柱压力和油层内流体压力之 间形成压力差，使之失去平衡而迫使岩石颗粒变形，排列更加紧密，结果导致岩层孔 隙体积减小。

岩石颗粒变形后，孔隙体积的缩小程度取决于岩柱压力和油气层流体压力的差 值，同时还与岩石本身的压缩性有关。岩石的压缩性通常用压缩系数表示： 式中， ---孔隙体积的变化量；

---岩石的外表体积；

---岩石的压缩系数。

岩石的压缩系数表示油层压力每降低单位压力时，单位体积岩石中孔隙提及的缩

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小量。

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