第三章 火箭的运动方程

为了严格、全面的描述远程火箭的运动，提供准确的运动状态参数，需要建立 准确的火箭空间运动方程及相应的空间弹道计算方程。

3.1 矢量形式的动力学方程

3.1.1 质心动力学方程

式（1.58）给出了任一变质量质点系在惯性坐标系中的质心动力学矢量方程：

第二章结合火箭的实际对上述各力进行了讨论，并已知

F s = m g + R + P st + c F （3.1）

其中, m g 为作用在火箭上的引力矢量， R 为作用在火箭上的气动力矢量， P st 为发 动机推力静分量矢量，^F c 为作用在火箭上的控制力矢量。 由式（2.15）、（2.16）知：

考虑到将附加相对力 F rel^′ 与发动机推力静分量合成为推力 P ，见式(2.32）。则 可得火箭在惯性坐标系中以矢量描述的质心动力学方程（为书写方便，以后^r c m ⋅ 均 写成 r ）

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3.1.2 绕质心转动的动力学方程

由变质量质点系的绕质心运动方程式（1.71）：

及第二章结合火箭分析其所受到的外界力矩：

M c m ⋅⁼ M st + M c + d M （3.3）

其中， M st 为作用在火箭上的气动力矩， M c 为控制力矩， M d 为火箭相对大气有 转动时引起阻尼力矩。

并注意到附加相对力矩、附加哥氏力矩为：

我们即可得到用矢量描述的火箭绕质心转动的动力学方程为：

3.2 地面发射坐标系中的弹道方程

用矢量描述的火箭质心动力学方程和绕心转动的动力学方程给人以简洁、清晰 的概念，但对这些微分方程求解还必须将其投影到选定的坐标系中来进行。通常是 选择地面发射坐标系为描述火箭运动的参数系，该坐标系是定义在将地球看作以角 速度 ω e 进行自转的两轴旋转椭球体上的。

3.2.1 地面发射坐标系中的质心动力学方程

由于地面发射坐标系为一动参考系，其相对于惯性坐标系以角速度 ω e 转动， 故由矢量导数法则可知：

将其代入式（3.2）并整理得：

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将上面等式各项在地面发射坐标系中分解：

1. 相对加速度项

2. 推力 P 项

由式（2.32）知，推力 P 在弹体坐标系内描述形式最简单，即

已知弹体坐标系到地面坐标系的方向余弦阵 G B 可得推力 P 在地面发射坐标 系的分量为：

3. 气动力 R 项

已知火箭飞行中所受气动力在速度坐标系中的分量为

已知速度坐标系到地面坐标系的方向余弦阵 G V ，则气动力 R 在地面坐标系的分量 为

4. 控制力^F c 项

由 2.3 内容已知无论执行机构是燃气舵或不同配置形式的摇摆发动机，均可将 76

控制力以弹体坐标系的分量表示为同一形式：

而各力的具体计算公式则根据采用何种执行机构而定，因此控制力在地面坐标系的 三分量不难用下式求得：

5. 引力 m g 项 根据式

其中

由图 3.1 可知，任一点地心 矢径为

其中， R 0 为发射点地心矢 径， ρ 为发射点到弹道上任 一点的矢径。

R 0 在发射坐标系上的 三分量可由图 3.1 求得：

（3.13）

上式中 A 0 为发射方位角，

图 3.1 弹道上任一点的地心矢径和发射点的地心矢径

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μ 0 为发射点地理纬度与地心纬度之差，即

由于假设地球为一两轴旋转椭球体，故 R 0 的长度可由子午椭圆方程求取：

ρ 在发射坐标系的三分量为 x 、、 y z 。

由式（3.12）可得 r 0 在发射坐标系的分量为

0 显然， ω e 在发射坐标系的三分量可写成：

其中 ω ex 、 ω ey 、 ω ez 和 ω e 之间有如下关系见图 3.1

于是可将式（2.75）写成发射坐标系分量形式：

6. 附加哥氏力 F k^′ 项 由式（2.16）

其中， ω T 为箭体相对于惯性（或平移）坐标系的转动角速度矢量，它在箭体坐标 系的分量可表示为

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ρ e 为质心到喷口中心点距离，即

因此可得 F k^′ 在箭体坐标系的三分量：

从而 F k^′ 在发射坐标系中的分量可由下式来描述：

7. 离心惯性力 − m ω e × ( ω e × r ) 项 记

为牵连加速度。

根据式（3.16），并注意到

则牵连加速度在发射坐标系中的分量形式为

其中

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则离心惯性力^F e 在发射坐标系上的分量为

δ 8. 哥氏惯性力 − 2 m ω e × δ^r t 项

记

δ 为哥氏加速度， r 为火箭相对于发射坐标系的速度，即有 δ t

并注意到式（3.16），则式（3.23）可写为

其中

从而可得哥氏惯性力 F k 在发射坐标系的分量形式为

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将式（3.6）、（3.8）、（3.9）、（3.11）、（3.17）、（3.19）、（3.22）、（3.26）代入式 （3.5），并令 P e = P − X 1 c （称为有效推力），则在发射坐标系中建立的质心动力学

方程为：

3.2.2 箭体坐标系中的绕质心转动动力学方程

将式（3.4）

I ⋅ ddt ω T + ω T × ( I ⋅ ω T ) = M st + M c + M d + M ′ rel + M ′ k

的各项在箭体坐标系内进行分解。

由于箭体坐标系为中心惯量主轴坐标系，因此惯量张量式（1.68）可简化为

由气动计算可得静稳定力矩、阻尼力矩在箭体坐标系中各分量表达式：

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由于控制力矩与所采用的执行机构有关，这里以燃气舵作为执行机构，则其控 制力矩即如式（2.141）、（2.143）所示：

附加相对力矩及附加哥氏力矩其矢量表达式为式（2.29）：

注意到在标准条件下，即发动机安装无误差，其推力轴线与箭体轴^x 1^平行，则 附加相对力矩为 0，而如果控制系统中采用摇摆发动机为执行机构，该附加相对力 矩即为控制力矩，其表达式如式（2.146），因此，此处不再列写。

附加力矩向箭体坐标系分解时，只要注意到

则不难写出

则式（3.4）即可写成箭体坐标系内的分量形式：

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3.2.3 补充方程

上面所建立的质心动力学方程和绕质心转动的动力学方程，其未知参数个数远 大于方程的数目，因此要求解火箭运动参数还必须补充有关方程。 1. 运动学方程

质心速度与位置参数关系方程

火箭绕平移坐标系转动角速度 ω T 在箭体坐标系的分量，由于

则不难得到

& & ω Ty1 =ψ T cos γ T +ϕ T cos ψ T sin γ T （3.32）

原则上可由此解得 ϕ T 、 ψ T 、 γ T 。

箭体相对于地球的转动角速度 ω 与箭体相对于惯性（平移）坐标系的转动角速 度 ω T 以及地球自转角速度 ω e 之间有下列关系：

根据地面发射坐标系的定义， ω e 在地面发射坐标系内的三个分量为

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