一 、 一元二次方程真题与模拟题分类汇编 （ 难题易错题 ）

• 1．已知关于 的方程 和 ，是否存在这样的

值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求 出这样的 值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的 平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在 n 满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2= ，所以(x1-x2)² =4n² +3n+2，

由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，

①若4n² +3n+2=-n+1，解得n=，但1-n= 不是整数，舍.

②若4n² +3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=(舍)，

综上所述，n=0.

• 2．已知关于x的一元二次方程x² ﹣x+a﹣1=0．

（1）当a=﹣11时，解这个方程；

• （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

• （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．

【答案】（1） （2） （3）-4

【解析】

分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；

• （2）根据判别式即可求出 a 的范围；

• （3）根据根与系数的关系即可求出答案．

详解：（1）把 a =﹣11代入方程，得 x² ﹣ x ﹣12=0，（ x +3）（ x ﹣4）=0， x +3=0或 x ﹣4=0， ∴ x 1=﹣3， x 2=4；

（2）∵方程有两个实数根 ，∴△≥0，即（﹣1）² ﹣4×1×（ a ﹣1）≥0，解 得 ；

（3）∵ 是方程的两个实数根，

∵[2+ x 1（1﹣ x 1）][2+ x 2（1﹣ x 2）]=9，∴ ，把

代入，得：[2+ a ﹣1][2+ a ﹣1]=9，即（1+ a ）² =9，解得：

a =﹣4， a =2（舍去），所以 a 的值为﹣4．

点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．

3．已知：关于的方程𝑘𝑥² + (2𝑘−3)𝑥+ 𝑘−3 = 0有两个不相等实数根(𝑘< 0)．

• （1）用含𝑘的式子表示方程的两实数根；

𝑥2 （2）设方程的两实数根分别是 ， （其中 ）， 且 + 2𝑘= 0，求𝑘的值． 𝑥1 【答案】（I） kx² +（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．

∴

由求根公式，得

而 ，∴ ， ． 𝑥2 由题意， 有 + 2𝑘= 0 𝑥1

3 ∴1 − 𝑘^{+ 2𝑘= 0即} （﹡） 解之，得𝑘1 =− 32^{,𝑘2= 1} 经检验𝑘1,𝑘2是方程（﹡）的根，但 ，∴𝑘=− 32 【解析】

（1）计算△=（2k-3）² -4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；

（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可． 一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、 保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措

施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元.下图反映 了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：

4．已知 为正整数，二次方程 的两根为 ，求下式的值：

【答案】

【解析】

由韦达定理，有 ， ．于是，对正整数 ，有

原式=

5．已知关于 的方程 有两个实数根.

• (1)求 的取值范围；

(2)若方程的两实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.

【答案】（1） （2）4

【解析】

试题分析：

根据方程的系数结合根的判别式即可得出 ，解之即可得出结论.

根据韦达定理可得： ，结合 即可得 出关于 的一元二次方程，解之即可得出 值，再由 ⑴ 的结论即可确定 值. 试题解析：

因为方程有两个实数根，所以 ，

解得 .

根据韦达定理，

因为 ，所以 ，将上式代入可得 ，整理得 ，解得 ，又因为 ，所以 .

6．关于x的方程(k－1)x² +2kx+2=0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程(k－1)x² +2kx+2=0的两个根，记S=+ + x1+x2，S的值能为2吗？若能， 求出此时k的值．若不能，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．

【解析】

试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保 证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形 为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,

x= 有一个解；

②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根

（2）∵x ₁＋x ₂＝ ,x ₁ x ₂= ∴S= + + x1+x2 = = = = =2k-2=2， 解得k=2，

∴当k=2时，S的值为2

∴S的值能为2，此时k的值为2．

考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．

• 7．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少 库存，商场决定降价促销．

• （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；

• （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利 润，每件应降价多少元？

• 【答案】（1）两次下降的百分率为10%；

• （2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5