山东省菏泽市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷）（含答案）.pdf

山东省菏泽市2024-2025学年高一上学期11月期中考试保密★启用前

2024-2025学年度第一学期期中考试

高一数学试题（A）

2024.11

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.下列命题与 ${ \bf \Psi } ^ { \left. \varepsilon \right. } \forall x \in { \bf R }$ $x ^ { 2 } + 1 \geq 1 \prime \prime$ 的表述意义一致的是
A.有且只有一个实数x，使得 $x ^ { 2 } + 1 < 1$ 成立
B.有些实数x，使得 $x ^ { 2 } + 1 \geq 1$ 成立
C.不存在实数x，使得 $x ^ { 2 } + 1 < 1$ 成立
D.有无数个实数x，使得 $x ^ { 2 } + 1 \geq 1$ 成立

2.设函数 $f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } - 2 x - 3 }$ ，则下列说法不正确的是A.f(x)的定义域为(-∞,-1]U[ $3 . + \infty )$ B. f(x)的单调递增区间为 $[ 1 , + \infty )$ C. f(x)的最小值为0 D. f(x)的图象关于x = 1 对称

3.函数 $f ( x ) = { \sqrt { - x ^ { 2 } + x + 6 } } + { \frac { | x | } { x + 1 } }$ 的定义域为 A. $\left( - \infty , - 2 \right] \cup \left( 3 , + \infty \right)$ B.[-3,1)U(1,2] C. $\left[ - 2 , - 1 ) \cup ( - 1 , 3 \right]$ D.(-2,-1)U(−1,3)

4.已知m，n是两个不相等的实数，满足 $m ^ { 2 } - 3 m + c = 0$ $n ^ { 2 } - 3 n + c = 0$ $\frac { n } { m } + \frac { m } { n } = 1$ ，则 $c =$ A.2 B.3 C.4 D.5

5.已知 $p : x ^ { 2 } - 3 x + 2 \geq 0$ $q : \varpi x \ge 1$ ，若p是q的必要不充分条件，则正实数a的取值范围是

A. $0 < a < \frac { 1 } { 2 }$ B. $0 < a \leq \frac { 1 } { 2 }$ C. $a \geq 1$ D. $a \geq \frac 1 2$

6.设函数 $f ( x ) = \left{ { x } ^ { 2 } - 1 , { x } \geq 0 , \right.$ 若 $f ( f ( a ) ) { \leq } - 1$ ，则实数a的取值范围是 A. $- 2 \leq a \leq 1$ B. $- 1 \leq a \leq 0$ C. $- 2 \leq a \leq -$ 1或 $0 \leq a \leq 1$ D. $0 \leq a \leq 1$

7.已知符号函数 $\scriptstyle \operatorname { s g n } x = { \left{ \begin{array} { l l } { 1 , x > 0 , } \ { 0 , x = 0 , } \ { - 1 , x < 0 } \end{array} \right. }$ 若 $g ( x ) = x s g { \mathfrak { n } } x$ ，则关于g(x)的说法，正确的是"
A.奇函数，在(-∞,0)和(0,+∞)单调递增
B.奇函数，在(-∞,0)和(0,+∞)单调递减
C.偶函数，在(-∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减
D.偶函数，在(-∞,0)单调递减，在(0.+∞)单调递增

8.设函数 $f ( x ) = \left| x \right| - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } }$ ，则使得f(x)< f(2x-1)成立的x的取值范围是A. $\left( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } \right) \cup \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$ B. $( - \infty , 0 ) \cup \left( 0 , \frac { 1 } { 3 } \right) \cup ( 1 , + \infty )$ C. $\left( - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right)$ D. $\left( - \infty , \frac { 1 } { 3 } \right) \cup \left( \frac { 1 } { 3 } , + \infty \right)$

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如果 $a < b < 0$ $c < d < 0$ ，那么下列不等式一定成立的是A. $a c > b d$ B. $a c ^ { 2 } > b d ^ { 2 }$ C. ${ \frac { a } { d } } > { \frac { c } { b } }$ D. ${ \frac { d + b } { a + b } } < { \frac { c + b } { a + b } }$

10. 已 知函数 f(x)= x+2， $g ( x ) = \frac { 3 } { x }$ ，记 $\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left{ a , b \right} = \biggr { a , a \geq b , } \ { \qquad \operatorname* { m a x } \left{ a , b \right} = \biggr { b , a < b , } \end{array}$ 则下列关于函数
    $F ( x ) { = } \operatorname* { m a x } { f ( x ) g ( x ) } ( x \neq 0 )$ 的说法正确的是
    A当x∈(0,1)时， $F ( x ) = \frac { 3 } { x }$
    B.函数F(x)的最小值为-1，无最大值
    C.函数F(x)在(-3,0)上单调递减

D.若关于x的方程 $F ( x ) = m$ 恰有两个不相等的实数根，则-1 < m < 0 或m > 3

11.对于任意实数x，函数f(x)满足：当 $n < x \leq n + 1 ( n \in Z )$ 时， $f ( x ) = x - n$ ，则A. $f ( 2 0 2 4 ) = 0$ B. f(x)的值域为(0,1]C. f(x)在区间 $\scriptstyle { \left( n , n + 1 \right] }$ 上单调递增 D. f(x)的图象关于点 $( k , 0 ) ( k \in Z )$ 对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知命题 $p : \ { \boldsymbol { \cdots } } \ { \boldsymbol { \exists } } x \in \left[ 1 , 2 \right]$ $2 \alpha x + 2 - a > 0 \ ^ { 3 5 }$ 为假命题，则实数a的取值范围为

13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数 $y = \left[ x \right]$ 称为高斯函数，其中 $x \in \mathbf { R } \ , [ x ]$ 表示不超过x的最大整数，例如： $\left[ - 2 . 1 \right] = - 3 , \left[ 3 . 1 \right] = 3$ 已知函数 $f ( x ) = \frac { x } { x ^ { 2 } + 3 x + 4 } + \frac { 8 } { 9 }$ 则函数 $y = \left[ f ( x ) \right]$ 的值域是

14.若不等式 ${ \frac { 3 x ^ { 2 } + 2 x + 2 } { x ^ { 2 } + x + 1 } } > m$ 对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为若存在实数b，使得关于m的方程 $m ^ { 2 } + ( 3 - b ) m + 6 - b = 0$ 在上述范围有两个不相等的实数解，则实数b的取值范围为2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(13分)已知集合 $A = \left{ x { \Biggl | } { \frac { 2 x - 1 } { x - 1 } } < 0 \right}$ ， $B = { \mathfrak { x } \mathfrak { d } \bigl ( x - a \bigr ) \bigl ( x - a + 1 \bigr ) < 0 }$

(1) 若a=1，求A∪B；

(2) 若 $x \in { \cal A }$ 是x∈B的充分条件，求a的取值范围

16.（15分）已知函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + 2$

(1) 解关于x的不等式 $f ( x ) > - a + 2$

(2) $\forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \left[ 1 , 2 \right]$ ，都有 $\left| f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) \right| < 4$ 恒成立，求实数a的取值范围

17.(15分)已知函数f(x)对于任意实数x， $y \in \mathbf { R }$ ，都有 $f { \big ( } x + y { \big ) } + 2 = f { \big ( } x { \big ) } + f { \big ( } y { \big ) }$ ，且 $f ( 2 ) = 4$

(1) 求 f(0)，f(1)的值；

(2) 证明：点(0,2)是曲线 $g = f ( x )$ 的一个对称中心；( 3 ) 求$f ( - 2 0 2 4 ) + f ( - 2 0 2 3 ) + f ( - 2 0 2 2 ) + \cdots + f ( - 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 ) + \cdots + f ( 2 0 2 2 ) + ( 2 0 2 3 ) + f ( 2 0 2 4 )$ 的

值.

18.(17分)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕 单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：

方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为 $S _ { 1 }$

方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为 $S _ { 2 }$

(其中y>x>4,b>a>4)

(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；

(2)若a，b，x，y同时满足关系 $y = 2 x - 2 \sqrt { x - 4 }$ 7 $b = 2 a + \frac { 4 } { a - 4 }$ ，求这两种购买方案花费的差值S 的最小值（注：差值S=花费较大值-花费较小值）.

19.(17分)已知函数 y = F(x)与 $y = f ( x )$ 的定义域均为R，若对任意区间 $[ u , \nu ] \subseteq R$ ，存在 $p \in \left[ u , \nu \right]$ 且$q \in \left[ u , \nu \right]$ ，使 $f ( p ) \leq { \frac { F ( u ) - F ( \nu ) } { u - \nu } } \leq f ( q )$ ，则 $y = f ( x )$ 是 $y = F ( x )$ 的生成函数

(1) 求证：f(x)=2x-1是 $F ( x ) = x ^ { 2 } - x - 1$ 的生成函数；

(2) 若f(x)=|x+2|是 $y = F ( x )$ 的生成函数，判断并证明y = F(x)的单调性；

(3) 若 y = f(x)是 $y = F ( x )$ 的生成函数，实数 $a \neq 0$ ，求 $y = F { \bigl ( } a x + b { \bigr ) }$ 的一个生成函数

高一数学试题（A）参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1-8 CBCABCDB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AD 10.ABD 11.BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $\left{ d \ a \leq - 2 \right}$ 13. {−1,0,1} $1 4 . { m \mid m < 2 }$ (2分) {b1 b<-3或 $5 < b < { \frac { 1 6 } { 3 } } }$ (3分)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(13分)

解：（1）因为 $\frac { 2 x - 1 } { x - 1 } < 0$ 7

所以 $( 2 x - 1 ) ( x - 1 ) < 0$ ……1分

所以 $\frac { 1 } { 2 } < x < 1$ ……2分

所以 $\scriptstyle A = \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right)$ ……3分

因为 $( x - a ) ( x - a + 1 ) < 0$ ，所以 $a - 1 < x < a$

所以B =(a−1,a)，当a =1时， $\textstyle B = \left( 0 , 1 \right)$ ……6分

$A \bigcup B = \left( 0 . 1 \right)$ ……8分

(2) 因为x ∈ A是x ∈ B的充分条件，所以 $\scriptstyle A \subseteq B$ ……10分

所以 $\left{ \begin{array} { l l } { \displaystyle a - 1 \leq \frac 1 2 , } \ { \displaystyle a \geq 1 , } \end{array} \right.$

即 $1 \leq a \leq \frac { 3 } { 2 }$ 7

所以a的取值范围为 $\left[ 1 , \frac { 3 } { 2 } \right]$ ……13分

16.(15分)

解：(1) $f ( x ) > - a + 2$ ，即 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a > 0$ ，即 $( x - 1 ) ( x - a ) > 0$ ，……2分