专题13.6 等腰三角形（精选精练）（专项练习）（培优练）

一、单选题 （本大题共 10 小题，每小题3 分，共 30 分）

• 1．（23-24 八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰三角形 ABC 中， AB = AC ， D 是边 BC 上的一点．下 列条件不能说明 AD 是 ABC 的角平分线的是（ ）

A． AD BC

C． S ABD = S ACD

D． BC = 2 AD

• 2．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断 ABC 是等腰三角形的是（ ）．

A． B． C． D．

• 3．（2024·云南·模拟预测）在 ABC 中， BAC , ACB 的平分线相交于 I ， DE 过点 I 且 DE ∥ AC ，若 AD = 3cm, CE = 5cm ，则 DE = （ ）^cm

• 4．（24-25 八年级上·全国·课后作业）在 ABC 中， = A 100 ， AB ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ， F ， 则 EAF 的度数是（ ）

5．（23-24 八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在 ABC 中， AB = AC ， D 是 BC 的中点， E 是 AC 边上 一点，且 AD = AE ，若 B = 40 ，则 ADE 的度数为（ ）

6．（22-23 八年级上·广西钦州·期末）在 ABC 中， AD 平分 BAC ， B =2 ADB ， AB = 3， CD = 5 ，则 AC 的长为（ ）

• 7．（23-24 九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 Rt△ ABC 中， BAC = 90 ， AD BC ， CE 平分 ACB ， 交 AB 于点 E ，交 AD 于点 F ，若 AB = 10 ， BE = 6 ，则 AF 的长为（ ）

10 A． B．4 3

8．（23-24 八年级下·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中 AB = CD ， EA = ED ，为了使用的 舒适性，可调整 AEC 的大小．若 AEC 增大16 ，则 BDE 的变化情况是（ ）

A．增大16 B．减小16 C．增大 8 D．减小 8

• 9．（23-24 八年级上·全国·课后作业）如图， ABC 中， B =2 C ， AD 是 BC 边上的高， E 是 BA 延长线 上一点， AC 平分 DAE ，若 AB = m ，^BC = p ， BD = q ，则下列等式一定成立的是（ ）

1 A．^m + q = p B． m + 2 q = p C． 2 m + q = p D． q + m = p 2

10．（2024·广西·模拟预测）如图，在 ABC 中， AB = AC ，分别以点 A 、 B 为圆心，以适当的长为半径作 弧，两弧分别交于 E ， F ，作直线 EF ， D 为 BC 的中点， M 为直线 EF 上任意一点．若 ABC 面积为 40， 且 BM + MD 长度的最小值为 10，则 BC 长为（ ）

二、填空题 （本大题共 8 小题，每小题4 分，共32 分）

11．（22-23 七年级下·山东烟台·期末）如图， ABC 中， BD 平分 ABC ， BC 的垂直平分线交 BC 于点 E ， 交 BD 于点连接 CF ．若 = A 50， ABD = 26 ，则 ACF 的度数为 ．

12．（23-24 八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 ABC 中， AB = AC ， D 、 E 、 F 分别是 BC ， AC ， AB 上的点，且 BF = CD ， BD = CE ， FDE = 66 ，则 A 的度数是 ．

13．（23-24 七年级下·山东烟台·期末）如图， AOB = 30 ， OP 平分 AOB ， PC ∥ OB 交 OA 于 C ．如果 OC = 6 ， 那么点 P 到 OB 的距离等于 ．

14．（23-24 八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，上午 9 时，一条船从 A 处出发，以 20 海里/时的速度向正北 航行，11 时到达 B 处，从 A ， B 处望灯塔 C ，测得 NAC = 35 ， NBC = 70 ，那么从 B 处到灯塔 C 的距 离是 海里．

15．（23-24 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 ABC 中， AB = AC ，点 D 、 E 分别在边 BC 、 AC 上（均不与点 A 、 B 、 C 重合），且 =1 C = 42 ，若 BD = CE ，则 BAC = 度， BAD = 度．

16．（23-24 八年级上·山东济南·开学考试）如图，在等腰 Rt ABC 中， BAC = 90 ， AB = AC ， BD 为 ABC 5 的角平分线，过点 C 作 CE BD 交 BD 的延长线于点 E ，若 CE = ，则 BD 的长为 ． 3

• 17．（23-24 八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在 ABC 中， AB = CB ， B = 100 ．延长线段 BC 至点 D ，使 CD = BC ，过点 D 作射线 DP ∥ AB ，点 E 为射线 DP 上的动点，分别过点 A ， D 作直线 EC 的垂线 AM ， DN ．当 AM - DN 的值最大时， ACE 的度数为 ．

18．（23-24 七年级下·福建福州·期末）如图， AO OM ， OA = 4 ，点 B 为射线 OM 上的一个动点，分别 以 OB ， AB 为直角边， B 为直角顶点，在 OM 两侧作等腰 Rt△ OBF 、等腰 Rt△ ABE ，连接 EF 交 OM 于 P 点，当点 B 在射线 OM 上移动时， BP 的长度为 ．

三、解答题 （本大题共 6 小题，共 58 分）

• 19．（8 分）19．（22-23 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在 ABC 中，= A 100 ， B = 36 ， EDF = 40 ，

• BD = BE ，求证： CDF 是等腰三角形．

• 20．（8 分）（2023·广东清远·一模）如图，已知 ABC ，在 BC 边上取点 D ，在 ABC 的外部取点 E ，连 接 AD 、 AE 、 DE ， DE 交 AC 于点 F ，且 ==1 2 62 ， AC = AE ， BDE = 118 ． （1）求证：△ ABC ≌△ ADE ； （2）求 ADE 的度数．

• 21．（10 分）（23-24 七年级下·四川成都·阶段练习）在 Rt△ ABC 中， AB = AC ， DEF = 45 且 DEF 的 顶点 E 在边 BC 上移动，在移动过程中，边 DE ， EF 分别与 AB ， AC 交于点 M ， N ，

• （1）当 BE = CN 且 M 与 A 重合时，求证：△ ABE ≌△ ECN

• （2）当 E 为 BC 中点时，连接 MN ，求证： NC = AM + MN

• 22．（10 分）（23-24 七年级下·上海·期末）如图， A = B ， AE = BE ，点 D 在 AC 边上，=1 2， AE 和 BD 相交于点 O ．

• （1）试说明△ AEC ≌△ BED 的理由；

• （2）若 AE EC ，试判断 A 和 2 的大小关系，并说明理由．

23．（10 分）（23-24 八年级上·河南周口·期末）（1）【问题发现】如图 1， ABC 与 CDE 中， B = E = ACD =90 , AC = CD ， B 、 C 、 E 三点在同一直线上， AB = 3 ， ED = 4 ，则 BE = _________． （2）【问题提出】如图 2，在 Rt△ ABC 中， ABC = 90, BC = 4 ，过点 C 作 CD AC ，且 CD = AC ，求△ BCD 的面积．

• （3）【问题解决】如图 3，四边形 ABCD 中， ABC = CAB = ADC = 45 ， ACD 面积为12 且 CD 的长 为 6，求△ BCD 的面积．

• 24．（12 分）（23-24 七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培 养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：

• （1）如图，在等腰 ABC 中， AC = BC ，点 D 为线段 AB 上的一动点（点 D 不与 A ， B 重合），以 CD 为 边作等腰 CDE ， CD = CE ， ACB = DCE = ，连接 BE ．解答下列问题：

• 【观察发现】

• ①如图 11−1，当= 90 时，线段 AD ， BE 的数量关系为 ， ABE = °；

• 【类比探究】

• ②如图 11−2，当= 60 时，试探究线段 AC 与 BE 的位置关系，并说明理由；

• 【拓展延伸】

• （2）如图 11−3，四边形 ABCD 中， BAD = BCD = 90 ， AB = AD ，连接 AC ，若 AC = 8 ，则四边形 ABCD 的面积为多少？（直接写出结果）．

参考答案：

1．D

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的综合运 用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．

根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质可判定 A，B 选项；根据角平分线的性质定理可判定 C 选项，根据 D 选项的条件无法破电脑角平分线，由此即可求解．

• 【详解】解：∵ ABC 是等腰三角形， AB = AC ，

• ∴ B = C ，

• A、若 AD BC ，则 ADB = ADC = 90 ，

• ∴ ABD ≌ ACD ( AAS ) ，

• ∴ BAD = CAD ，

• ∴ AD 是 ABC 的角平分线，故该选项不符合题意；

• B、若 BD = CD ，且 B = C ， AB = AC ，

• ∴ ABD ≌ ACD ( SAS ) ，

• ∴ BAD = CAD ，

• ∴ AD 是 ABC 的角平分线，故该选项不符合题意；

• C、若 S ABD = S ACD ，如图所示，过点 D 作 DE AB 于点 E ，作 DF AC 于点 F ，

• ∴ DE = DF ，

• ∴ AD 是 ABC 的角平分线，故该选项不符合题意；

• D、当 BC = 2 AD 时，不能确定点 AD 是角平分线，故该选项符合题意；

故选：D ．

• 2．D

• 【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．

• 【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知 B = C ， ABC 是等腰三角形，不符合题意，选项 错误；

B、根据垂直平分线的作法可知 AB = AC ， ABC 是等腰三角形，不符合题意，选项错误；

C、根据过直线外一点作平行线的作法可知， AC ∥ BD ， ACB = CBD ，

根据角平分线的作法可知， ABC = CBD ，

ABC = ACB ， ABC 是等腰三角形，不符合题意，选项错误；

D、不能判断 ABC 是等腰三角形，符合题意，选项正确，

故选 D．

【点拨】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．

3．A

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等 边对等角”证明 EI = CE = 5cm ， DI = AD = 3cm ，即可求解． 【详解】解：∵ DE ∥ AC ， ∴ ACI = CIE ， ∵ CI 平分 ACB ， ∴ ACI = ECI ， ∴ ECI = CIE ， ∴ EI = CE = 5cm ，

故选：A．

4．D

【分析】根据题意，得 AE = BE , AF = CF ，得到 BAE = B , CAF = C ，结合 BAC ++ B C = 180 ， 代换计算即可，本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性 质和定理是解题的关键．

【详解】解：根据题意，得 AE = BE , AF = CF ，

• ∴ BAE = B , CAF = C ，

• ∵ BAC ++ B C = 180 ，

∴ B + C + EAF + B + C =180

∴180-+ A EAF +180- A =180

∵ = A 100 ，

故选 D．

5．D

【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三 线合一的性质得到 ADB = 90 ， CAD = BAD ，根据三角形内角和得到 CAD = BAD = 50 ，再根据等边 1 对等角及三角形内角和得到 ADE = (180- 50=) 65 ，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2 【详解】解：∵ AB = AC ， D 是 BC 的中点，

∴ AD BC ，

∴ ADB = 90 ， CAD = BAD ，

故选：D

6．C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，在 AC 上截取^AE = AB ， 连接 DE ，证明 ABD ≌ AED ，得到 B = AED ，再证明 CD = EC ，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在 AC 上截取^AE = AB ，连接 DE ，