专题 03 一次函数
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知识点1：正比例函数
1.正比例函数的定义
一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做
注意：(1)正比例函数 y = kx 必须满足两个条件：
①比例系数 ，②自变量x的次数是
(2)在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足 $y = k x \left( k \neq 0 \right)$ 的形式即可；若求函数的解析式，
1
只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了.
2.正比例函数的图像和性质
(1）正比例函数 y = kx (k 是常数， $k \neq 0 )$ 的图象是一条经过 与点 的直线，我们称它为直线 $y = k x$ .其图象和性质如下表：
| k>0 | k< 0 | |
| 图象 |  |  |
| 经过象限 | 第 象限 | 第 象限 |
| 图象形状 | 从左向右 | 从左向右 |
| 增减性 | y 随 x 的增大而 | y 随 x 的增大而 |
①正比例函数 $y = k x \left( k \neq 0 \right)$ 中，k越大，直线y = kx越靠近 轴，即直线与x轴正半轴的夹角 ；k越小，直线 y = kx 越靠近 轴，即直线与x轴正半轴的夹角
②正比例函数的性质也可以逆用，如当正比例函数 $y = k x \left( k \neq 0 \right)$ 中 y 随x的增大而增大时，反之， ;若正比例函数的图象过第一、三象限，则k>0等。
（2）正比例函数图象的简单画法
由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系中，画正比例函数的图象时，描出原点和(1,k),过这两点的直线就是正比例函数 $y = k x \left( k \neq 0 \right)$ 的图象.
知识点2：一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如 (k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。当b=0时， $y = k x + b$ 即所以正比例函数是一种特殊的一次函数。
2.一次函数的图象和性质
一般地，一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线 $y = k x + b ( k \neq 0 )$ 其图象与性质如下表：
| k>0 | k<0 | |||
| b>0 | b<0 | b>0 | $b < 0$ | |
| 图象 |  |  |  |  |
| 第 象限 | 第 象限 | 第 象限 第 | 象限 | |
| 经过象限 | 从左向右上升 | 从左向右下降 | ||
| 图象形状 增减性 | y 随 x的增大而增大 | y 随 x的增大而减小 | ||
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注意：直线 $y = k x + b \left( k \neq 0 \right)$ 与y轴交于点 ,与x轴交于 ,其中 b 叫做直线 $y = k x + b$ 在γ轴上的截距。截距不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标。因此，截距可正，可负，也可为0。
3.一次函数图象的平移
(1)一次函数 $y = k x + b \left( k \neq 0 \right)$ 的图象是经过点 $( 0 , \ b )$ 和直线 $y = k x$ 重合或 的一条直线.
(2)一次函数 $y = k x + b$ 的图象可以看成由直线 $y = k x$ 平移 个单位长度得到(当 $b > 0$ 时，向平移；当 $b < 0$ 时，向 平移)。
4.用待定系数法求函数解析式
（1）待定系数法的定义：先设出函数 ，再根据条件确定解析式中未知的系数、从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
正比例函数 $y = k x \left( k \right.$ 是常数，k≠0)中有一个待定系数，只需要一个条件确定比例系数k的值；一次函数$y = k x + b ( k$ ，b是常数， $k \neq 0 )$ 中有两个待定系数k,b,需要两个独立条件确定两个关于k,b的方程。
（2）用待定系数法求函数解析式的步骤
①设含有 的解析式(看是正比例函数，还是一次函数);
②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程(组),求出待定系数的值；
④将求出的待定系数代入所设的解析式，得所求解析式
5.从函数的角度看解方程（组）与不等式（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为 的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数 $y = k x + b$ 的函数值为 时，求自变量x的值.
1 $\overline { { \mathbf { \nabla } } } \cdot \overline { { \mathcal {pi } } }$ 一次方程 $a x + b = 0 \ ( a , b$ 为常数， $a \neq 0 }$ 与一次函数 $y = k x + b \ ( a , b$ 为常数， $a \neq 0 }$ 的关系为：$a x + b = 0 { \bigl ( } a \neq 0 { \bigr ) }$ 的解⇔函数 $y = k x + b \left( a \neq 0 \right)$ 中， $y = 0$ 时 的值↔函数 $y = k x + b \left( a \neq 0 \right)$ 的图象与x轴交点的
(2) 一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都能变形为 或 的形式，所以解一元一次不等式相当于在一次函数 $y = k x + b$ 的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围。一次函数
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$y = k x + b \left( a \neq 0 \right)$ 与一元一次不等式 $a x + b > 0$ 或 $a x + b < 0 { \bigl ( } a \neq 0 { \bigr ) }$ 的关系为：
① $a x + b > 0 { \bigl ( } a \neq 0 { \bigr ) }$ 的解集 $\Leftrightarrow y = k x + b$ 中， 时，自变量x的取值范围.
② $a x + b < 0 { \bigl ( } a \neq 0 { \bigr ) }$ 的解集 $\Leftrightarrow y = k x + b$ 中， 时，自变量x的取值范围.
(3)一次函数与二元一次方程组的关系
①含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组对应两个一次函数，即对应 o
②从“数”的角度看，解方程组就是求使得两个函数值相等的自变量的值以及此时的
③从“形”的角度看，解方程组就是确定两条直线的
提升专练
》题型归纳
【考点01正比例函数的定义】
（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（）A. $y = \frac { x - 2 } { 3 }$ B. $y = x ^ { 2 }$ C. y = x D. $y = { \frac { 1 } { x } }$
（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数y=-x +2-m是正比例函数，则 m的值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. -2
（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（）
① y = kx 是正比例函数；
②如果 $y = ( a + 3 ) x + a ^ { 2 } - 9$ 是正比例函数，那么 $a = \pm 3$
③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数；
④如果 $y = { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 2 }$ ，那么y与 $x ^ { 2 }$ 成正比例.A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【考点02正比例函数的图像与性质】
1.（24-25八年级上·上海·期中）如果函数 $y = 2 k x + x$ 经过第二、四象限，那么k的取值范围是_：
2.（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数 $y = \left( 2 - k \right)$ x的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的k的值：
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(2)当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，直接写出y的取值范围.
【考点03根据一次函数的定义求参数】
1.（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）下列函数：① $y = 2 x$ ； ② $y = 4 x - 1$ ； ③ $y = 3 - x$ ； ④ $y = { \frac { 2 } { x } }$ ． 其中一次
函数的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数 $y = \big ( m - 1 \big ) x ^ { | m | } + 5$ 是一次函数，则m的值为（）A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2
（24-25八年级上·江西九江·期中）一次函数y=-x+1的图象经过点 $P ( m , m - 1 )$ ，则m=4.（24-25八年级上·广东茂名·期中）当m，n为何值时， $y = ( m - 3 ) x ^ { | m | - 2 } + n - 2$
(1)是一次函数；
(2)是正比例函数.
【考点04求一次函数的自变量或函数值】
（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列各点一定在函数 $y = 2 x - 1$ 的图象上的是（）A. (1,1) B. (−1,−1) C. (−1,1) D. (0,2)
（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各点一定在函数y=x+2的图象上的是（）A. (2,2) B. (3,5) C. (−1,−1) D. (−3,1)
3.（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数 $y = x + 1$ 图象上的点是（）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
4.（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知y是x的函数；若函数图象上存在一点 $M ( m , n )$ ，满足 $m + n = 1$ 则称点M为函数图象上的“姐妹点”.例如：直线 $y = x - 5$ 上存在的“姐妹点”M(3,-2).直线 $y = \frac { x } { 2 } - 2$ 上的“姐妹点”的坐标是
【考点05一次函数的图像】
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A.
B.
C.
D.
2.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）要得到直线 $y = - x + 3$ ，可把直线y=-x（）A. 向下平移3个单位长度 B. 向上平移3个单位长度C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度
4.（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数 $y = k x + 3$ (k为常数， $k \neq 0 \ )$ 的图像经过点 $\left( 2 , - 1 \right)$ (1)求一次函数的表达式;
(2)画出函数图像；
(3)观察图像，写出该函数三个不同类型的结论.
【考点06一次函数的解析式】
1.（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）下列关于x的一次函数 $y = a x + b$ 与一次函数 $y = b x + a$ 的图象可能正确的是（）
A.
B.
C.
D.
3.（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知直线 $y = k x + b \big ( k \neq 0 \big )$ 与直线 $y = - 3 x$ 平行，且与y轴的交点为(0,6)，
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那么这条直线的解析式为
【考点07一次函数与坐标轴的交点问题】
1.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知一次函数 $y = k x + b ( k \neq 0 )$ 的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+ b =0的解为（）
A. x = -1 B. x=1 C. x = -2 D. x = 2
3.（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数 $y = k x + b \big ( k \neq 0 \big )$ 中，x与y的部分对应值如下表：
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 |
那么一元一次方程 $k x + b = 0$ 的解为（） A. x = -2 B. x = 0 C. x = 1 D. x = 2
(1)求k的值；
(2)若点(a,8)在此一次函数的图象上，求a的值；
(3)此一次函数的图象与坐标轴围成的△BOC的面积为
【考点08一次函数的增减性】
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1.（24-25八年级上·山东济南·期中）若点 $A \big ( 1 , y _ { 1 } \big ) , B \big ( 2 , y _ { 2 } \big )$ 在一次函数 $y = 2 x - 1$ 的图象上，则 $y _ { 1 } , \ y _ { 2 }$ 的大小关系是（）A. $y _ { 1 } > y _ { 2 }$ B. $y _ { 1 } = y _ { 2 }$ C. $y _ { 1 } < y _ { 2 }$ D. 不能确定
（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数 $y = k x + b$ 的自变量的取值范围是 $- 2 \leq x \leq 1$ ，相应函数值的取值范围是 $- 6 \leq y \leq - 3$ ，则下列符合题意的函数是（）A. $y = x + 3$ B. y = −x− 4 C. y=3x D. y=−x−5
（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数 $y = k x + k - 1$ ，下列叙述正确的是（）A. 函数图象一定经过点(-1,-1)B.当k>0时，函数图象一定不经过第二象限C. 当k <0时，y随x的增大而增大D. 当 $0 < k < 1$ 时，函数图象经过第一、二、三象限
（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数 $y = ( k + 1 ) x + k ^ { 2 } - 1$
(1)若一次函数的图象经过原点，求k的值.
(2)若一次函数的图象经过点(0,2)，且y的值随x值的增大而减小，求k的值.
【考点09一次函数与一元一次方程的关系】
2.（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数： $y _ { 1 } = a x + b$ 与 $y _ { 2 } = c x + d$ 的图象如图所示，下列选项不正确的是（）
A. $y _ { 2 }$ 随x的增大而减小 B. 函数 $y = b x + d$ 的图象不经过第二象限C. 2a−2c=b−d D. $a + b + c + d < 0$
| x | $X _ { 1 }$ | $x _ { 2 }$ | $x _ { 3 }$ | $x _ { 4 }$ | $x _ { 5 }$ |
| $y _ { 1 }$ | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
| y2 | -6 | -2 | 2 | 6 | 10 |
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A. $x _ { 1 } < x _ { 0 } < x _ { 2 }$ B. $x _ { 2 } < x _ { 0 } < x _ { 3 }$
C. $x _ { 3 } < x _ { 0 } < x _ { 4 }$ D. $x _ { 4 } < x _ { 0 } < x _ { 5 }$
(1)分别求直线 $\vert l _ { 1 }$ 和直线 $l _ { 2 }$ 的函数解析式；
(2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交 $l _ { 1 }$ $l _ { 2 }$ 于点M、N，当线段MN=3时，求点D的坐标.
【考点10一次函数与不等式的关系】
A. $x < - 2$ B. $- 2 < x < 0$ C. x<−1 D. x > -1
2.（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线 $y = a x + b \left( a \neq 0 \right)$ 过点A(0,1)，B(2,0)，则关于x的方程 $a x + b = 0$ 的解为_当 $y \ge 0$ 时，自变量x的取值范围是
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(1)求出k，b的值；
(2)当 $x > 0$ 时，直接写出y的取值范围.
4.(24-25八年级上·福建三明·期中)如图，正比例函数 $y _ { 1 } = { \frac { 1 } { 3 } } x$ 与经过点A(0,12)的一次函数 $y _ { 2 } = k x + b \big ( k \neq 0 \big )$ 相交于点 B，点 B 的坐标为(9,m).
(1)观察图象，当 $y _ { 1 } > y _ { 2 }$ 时，自变量x的取值范围是
(2)求一次函数 $y _ { 2 } = k x + b$ 的表达式；
(3)点C为正比例函数 $y _ { 1 } = { \frac { 1 } { 3 } } x$ 上一动点，作CD∥y轴交一次函数 $y _ { 2 } = k x + b$ 于点D，若 $C D = 8$ ，求点C的坐标.
【考点11一次函数与二元一次方程组】
2.（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，利用函数图象可知关于x，γ的二元一次方程组 $\begin{array} { l } { \left{ 2 x - y + 1 = 0 \right. } \ { \left. m x - y + n = 0 \right. } \end{array}$ 的解为
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