2023 — 2024 学年度第一学期期末质量检测

九年级数学试题

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）

4. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图， P 为 AB 的黄金分割点（ AP > PB ），如 果 AP 的长度为10cm ，那么 AB 的长度是（ ）

5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——

1

杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200 N 和 0.5m ，

则动力 F 关于动力臂 l 的函数图象为（ ）

A. B.
C. D.
7. 正方形网格中， AOB 如图放置，则 sin AOB 的值为（ ）

1 2 3
A. B. C. 1 D.
2
2 2

8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样 的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距 为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 8cm ，则蜡烛火焰的高度是（ ）

2

9 A. B. 6 2

16 C. D. 8 3

9. 如图，一次函数 y1＝x 与二次函数 y2＝ax² ＋bx＋c 图象相交于 P、Q 两点，则函数 y＝ax² ＋（b－1）x＋c 的图象可能是（）

A. B. C. D. 10. 如图，在 Rt ABC 中， ACB = 90 ， = A 30， BC = 6 ， D 为 AC 上任意一点， F 为 AB 的中点， 连接 BD ， E 在 BD 上且 BEC = 90 ，连接 EF ，则 EF 的最小值为（ ）

3 3 - 3 A. B. 2 3 - 3 C. 3 3 - 3 D. 3 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

n 3 m + n 11. 若 ，则 的值为______． m⁼ 7 m 12. 若抛物线 y = x 2 - 6 x + m 与^x 轴只有一个公共点，则 m 的值为______． 13. 如图，△ ABC ∽△ CBD ， AB = 4 ， BD = 6 ，则 BC = ______．

3

14. 如图，点 A 在直线^y = x 上， AB x 轴于点 B ，点 C 在线段 AB 上，以 AC 为边作正方形 ACDE ，点 k D 恰好在反比例函数 y = （ k 为常数， k 0 ）第一象限的图象上，连接 AD ． x

（1）若 OB = 5 ， CD = 3 ，则 k = ______；

（2）若 k = 7 ，则 OA 2 - AD 2 =^______．

三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）

° 2 °-1 15. 计算： -2 + 2sin30 --( 3 ) + (tan 45 )

16. 定义新运算：对于任意实数 m 、 n 都有 m * n = m 2 - mn ．

2 例如： -*2 2 =-( 2) --( 2) 2 = 8 ，根据以上知识解决下列问题： 求抛物线 y = ( x + 2) *-( 2) 的顶点坐标．

四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）

17. 如图，在△ ABC 中，∠ A =30°，∠ B =45°， AC = 2 3^{，求_AB_的长．}

18. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△ A 1 B 1 C 1 和△ A 2 B 2 C 2：

• (1)将△ ABC 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，得到△ A 1 B 1 C 1；

• (2)以图中的点 O 为位似中心，将△ A 1 B 1 C 1 作位似变换且放大到原来的两倍，得到△ A 2 B 2 C 2．

4

五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）

19. 学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 AEFD 为矩形， 点 B 、 C 分别在 EF 、 DF 上， ABC = 90 ， BAD = 53 ， AB = 10 cm ， BC = 6 cm ．求零件的截面面 积．参考数据： sin 53 0.80 ， cos53 0.60 ．

20. 如图，将矩形纸片 ABCD ( AD > DC ) 沿着过点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上，落点为 F ，折痕 交 AB 边于点 E ，

（1）求证： EFB : DEC ；

（2）若 AD = 10, CD = 6 ，求 BE 的长；

六、（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）

a 21. 如图，一次函数 y＝kx+b 的图象分别与反比例函数 y＝ 的图象在第一象限交于点 A(4，3)，与 y 轴的 x 负半轴交于点 B，且 OA＝OB．

a （1）求函数 y＝kx+b 和 y＝ 的表达式； x

5

（2）已知点 C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点 M，使得 MB＝MC，求此时点 M 的坐标．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 方向 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 向点 B 方向运动，如果点 P的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒， 它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为 t 秒．求：

• （1）当 t=3 秒时，这时，P，Q 两点之间的距离是多少？

• （2）若△CPQ的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式．

• （3）当 t 为多少秒时，以点 C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？

七、（本大题共 1 小题，共 14 分）

2 23. 如图，已知抛物线 y =- x + 2 x + 3 与 x 轴交于点 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 P 是 BC 上方抛物线 上的一动点，作 PM x 轴于点 M ，点 M 的横坐标为 t (0 << t 3) ，交 BC 于点 D ．

• （1）求 A ， B 的坐标和直线 BC 的解析式；

• （2）连接 BP ，求 △ CPB 面积的最大值；

• （3）已知点 Q 也在抛物线上，点 Q 的横坐标为 t + 2 ，作^QE x 轴于点 F ，交 BC 于点 E ，若 P ， D ， Q ，

E 为顶点的四边形为平行四边形，求 t 的值．

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九年级数学试题

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）

1. 下列函数中，^y 的值随^x 值的增大而减小的是（ ）

A. y = x 2 +1 B. y =- x 2 +1 C. y = 2 x +1 D. y =-2 x +1

【答案】D

• 【解析】

• 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．

2 【详解】解：A. y = x +1， a > 0 ，对称轴为直线 x = 0 ，

• 当 x < 0 时，^y 的值随^x 值的增大而减小，当 x > 0 时，^y 的值随^x 值的增大而增大，故该选项不正确，不符 合题意；

• 2

• B. y =- x +1， a<0 ，对称轴为直线 x = 0 ， 当 x < 0 时，^y 的值随^x 值的增大而增大，当 x > 0 时，^y 的值随^x 值的增大而减小，故该选项不正确，不符 合题意；

• C. y = 2 x +1， k > 0 ，^y 的值随^x 值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；

• D. y =-2 x +1， k < 0 ，^y 的值随^x 值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

• 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．

k 2. 反比例函数 y = 的图象经过点（1，-2），则 k 的值为（ ） x

1 1 A. B. - C. 2 D. -2 2 2

【答案】D

• 【解析】

• 【分析】根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出 k 值，此题得解．

k 【详解】解：∵反比例函数 y = 的图象经过点（1，-2）， x

∴ k =1×（-2），

∴ k =-2．

7

故选：D．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于 k 的 一元一次方程是解题的关键．

k 3. 已知点 A (-4, y 1 ) ， B (-2, y 2 ) ， C (3, y 3 ) 都在反比例函数 y = ( k < 0) 的图象上，则^y 1^，y 2^，y 3^的 x 大小关系为（ ） A. y 3 < y 2 < y 1 B. y 1 < y 3 < y 2 C. y 3 < y 1 < y 2 D. y 2 < y 3 < y 1

【答案】C

【解析】

【分析】先根据函数解析式中的比例系数 k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函 数的增减性解答．

k 【详解】解： 在反比例函数 y = ( k < 0) 中， k < 0 ， x

此函数图象在二、四象限，

-<-<4 2 0 ， 点 _A_ (-4, _y_ 1 ) ， _B_ (-2, _y_ 2) 在第二象限， _y_ 1 > 0 ， y 2 > 0 ，

函数图象在第二象限内为增函数， -<-<4 2 0 ，

<0 y 1 < y 2 ． 3 > 0 ， C (3, y 3 ) 点在第四象限， \ y 3 < 0 ， ∴^y 1 ，^y 2^，y 3^{的大小关系为} y 3 < y 1 < y 2 ． 故选：C．

【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较 简单．

4. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图， P 为 AB 的黄金分割点（ AP > PB ），如 果 AP 的长度为10cm ，那么 AB 的长度是（ ）

8

【详解】解：∵ P 为 AB 的黄金分割点，

故选：A．

5. 如图，△ ABC 中， AD 是中线， BC ＝8，∠ B ＝∠ DAC ，则线段 AC 的长为（ ）

A. 4 B. 4 2 C. 6 D. 4 3 【答案】B 【解析】

【分析】根据题意判断出△ CBA ∽△ CAD ，从而利用相似三角形的性质求解即可．

• 【详解】解：∵ BC ＝8， AD 是中线，

∴ CD ＝ BD ＝4， 在△ CBA 和△ CAD 中，

∵∠ B ＝∠ DAC ，∠ C ＝∠ C ，

∴△ CBA ∽△ CAD ，

9

AC CD ∴ = ， BC AC

∴ AC² ＝ CD • BC ＝4×8＝32，

∴ AC ＝4 2^；

故选：B．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

6. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识—— 杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200 N 和 0.5m ， 则动力 F 关于动力臂 l 的函数图象为（ ）

A.

C.

B.

D.

【答案】B

【解析】

• 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力 F 关于动力臂 l 的函数关系式，从而确定其 图象即可．

【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1200 N 和 0.5m

∴动力 F 关于动力臂 l 的函数解析式为：1200 7.5 = Fl ，

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