军用装备的定点空投

摘 要

论文针对军用装备安全、定点投放问题，结合投放过程中的相关因素，运用物理 学运动方程构造空投过程的微分方程模型，利用计算机模拟、离散采样等方法，成功 解决了装备空投的相关问题，为空投实际提供了理论依据。

问题一，降落伞投放物资的安全与否，主要影响因素：一是落地时的速度小于 5m/s,二是降落伞的最大承载力尽量小。定性分析可知这两个因素由物伞系统的运动过 程决定，运动过程中的具体状态又是由物伞系统所受的重力、空气阻力和速度决定， 物伞系统的速度又与空投高度、飞机速度、装备特性、降落伞特性、气象因素有关。 在定性分析的基础上，为简化问题，忽略气象因素的影响，根据物理运动规律，定量 分析空投高度、飞机速度、装备特性、降落伞特性对物伞系统受力和运动的影响，建 立了描述运动过程的微分方程模型。

问题二，在问题一所建模型的基础上，针对各种因素的不同条件，利用龙格—库塔 方法求解微分方程，得到使装备落地时符合要求所需的最小降落伞面积和最佳收口 比，通过对降落伞运动过程中的受力分析、离散采样，得到最大承载力，为降落伞的 设计提供依据，最终达到模型的最优化。

关键词 ：装备空投 微分方程模型 龙格—库塔方法 离散采样

一、问题重述

在信息条件下多兵种的联合作战中，战时的快速反应，是致胜的重要环节，特别 是对于机械化部队的武器装备是胜利作战的重要保证。实际中，必要时需将一些武器 装备利用空投的方法及时投放到前沿阵地，使部队以最快的速度利用武器装备发挥战 斗力。通常武器装备的大小、重量都有不同，如何选配合适的降落伞，使能保证将所 需要的武器装备快速、安全、准确地投放到阵地上。

现有几种类型装备都可以视为长方体型，其几何尺寸(长×宽×高/m)和重量(t)如下 表所示：

类型 属性	A	B	C	D	E	F
重量/t	1	2	3	5	10	15
尺寸/m	2.5×1.5×1.8	3×2×2.5	3.5×2×2	3.5×2.5×2.5	4×3×2.5	4×3×2.5

实际中，飞机可以从1000m--5000m高空投放这些装备，装备下投之后，一般降落 伞需要5s~10s才能够打开。为了保证装备的安全，要求装备落地时的速度不能超过 5m/s。假设飞机的飞行速度为常数V0 (300m/s≤V0≤600m/s)。请建立数学模型研究下 列问题：

(1) 根据实际情况，试就一般问题分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素， 并建立它们之间关系的数学模型。

(2) 如果要求一台装备配一只降落伞，那么空投各类装备需要配备多大面积的降 落伞，才能保证装备安全着陆？伞绳的承载力至少为多少？

二、问题分析

本题要完成的主要工作是分析装备空投过程中，在不同阶段的物理状态，关键是 分析运动的过程和受力状态与各种影响因素的关系，建立物伞系统的运动模型，根据 空投高度、空投速度、装备特性、降落伞特性、环境因素等不同的输入情况，获得物 伞系统的运行轨迹、速度、承载力随时间的变化规律，为保证装备快速、安全、精确 地投放提供理论支持。

对问题一，要保证装备安全，由题意可归纳为两方面要求：一是装备落地时的速 度不能超过5m/s，二是伞绳的最大承载力不能超过设计值。装备落地速度和伞绳最大

承载力由物伞系统的运动过程决定，运动过程中的具体状态又是由物伞系统所受的重 力、阻力和速度之间的关系决定，物伞系统的阻力、速度又与空投高度、飞机速度、 装备特性（质量、尺寸、阻力系数）、降落伞特性（质量、面积、阻力系数、充气时 间、展开时间）、气象因素（风向、风力、气压、温度）有关，因此要定性分析上述 因素对运动的影响。

在定性分析的基础上，考虑到气象因素比较复杂，为了简化问题，忽略气象因素 的影响，在大气密度不变，无风，温度不变的理想状态下，根据物理运动规律，定量 分析空投高度、飞机速度、装备特性、降落伞特性对物伞系统受力和运动的影响，建 立微分方程模型。

对问题二，对上述各种因素的不同具体情况，求解微分方程模型，得到使装备落 地速度符合要求所需的最小降落伞面积，并计算伞受到的最大承载力，以保证伞的设 计符合要求并达到模型最优化。

三、模型假设

• 1、装备投放初速度与飞机的飞行速度一致。

• 2、装备以平放、纵向方式出仓，在空中运动为六自由度刚体，不考虑旋转翻转运

• 动，迎风面为长宽底面和宽高侧面。

  • 3、下降过程中，物伞系统的中心轴线始终与速度方向共线。

  • 4、伞为圆顶形，伞口径面为圆形，因此伞的最大投影面积为伞面积的二分之一。

  • 5、伞在充气过程和展开过程中，伞的投影面积随经过的时间线性增大。

  • 6、伞衣和伞绳均视为刚性、无弹性变形，物伞的相对位置保持不变。

四、符号的说明

符号	意 义	单位
	装备质量
	装备长度
	装备宽度
	装备高度
	装备的风阻系数	/
	装备沿速度方向的投影面积
	装备受的空气阻力

装备的最大过载系数	/
降落伞质量
降落伞密度
降落伞的风阻系数	/
降落伞面积
降落伞沿速度方向的投影面积
降落伞充气过程和展开过程所需时间
降落伞收口比	/
降落伞受的空气阻力
降落伞受到的承载力
空投高度
空投速度
物伞系统线速度
物伞系统线速度与水平方向夹角	度
空气密度
单伞空投伞充气时刻
单伞空投伞展开时刻
多伞空投第_i_只伞的充气时刻
第_i_只伞沿速度方向的投影面积
平均风速度
理想着陆距离
平均风速度与飞行方向的夹角	度
突风的速度

五、模型的建立与求解

• 5．1 问题一模型的建立

由问题分析，我们可以将降落伞下降的过程分为四个阶段进行求解

5.1.1 类平抛阶段

在该阶段，装备从飞机上抛出，与飞机具有相同的水平初速度，物伞系统做类平 抛运动。此过程中受到装备所产生的空气阻力与自身重力的影响，空气阻力与装备的 尺寸有关。在不考虑各种随机因素影响的理想状态下，空投过程是在一个竖直平面内 的运动过程，可建立二维直角坐标系来描述，横坐标正方向为水平向右，纵坐标正方

向为竖直向下，构成左手系。 设空气密度为 ，装备的风阻系数为 ，某时刻的运动速度为 ，方向与运动轨 迹相切，与水平方向的夹角为 。 类平抛阶段的物伞系统运动轨迹及受力情况如图2所示，分析可得其物理过程如 下：

图2 类平抛阶段物伞系统受力分析图 装备沿线速度方向的投影面积 装备所受的空气阻力 加速度与受力的关系 水平方向位移与线速度的关系 竖直方向位移与线速度的关系 轨迹角方程

5.1.2伞充气、延时、展开阶段 这三个阶段物伞系统运动轨迹及受力情况比较接近，物理过程如图3所示，

图3 伞展开阶段物伞系统受力分析图 主要区别是随时间变化，伞逐步张开，沿速度方向的投影面积 逐步增大，伞受 的空气阻力 逐步增大。由假设4和5，在充气阶段（t1——t1+ ），投影面积 从0线 性增大到 ，在延时阶段（t1+ ——t2）， ，在展开阶段（t2—— t2+ ）， 从 增大到 ，从而有：

伞投影面积与时间的关系

降落伞所受空气阻力