2024 考研数学（二）真题

试卷及解析

一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的．

另外， x = 0 是分段点，

故 x = 0 是第二类间断点. 因此只有一个第一类间断点

2.【答案】B

7.设非负函数 f ( x ) 在[0,+)上连续. 给出以下三个命题： + 2 + ①若 f ( x )d x 收敛，则 f ( x )d x 收敛； 0 0 + p ②若存在 p > 1, 使得 lim x f ( x ) 存在，则 f ( x )d x 收敛; x + 0 + p ③若 f ( x )d x 收敛，则存在 p > 1, 使得 lim x f ( x ) 存在. 0 x + 其中真命题的个数为

A.0. B.1. C.2. D.3.

【答案】 B

8.【答案】 C

9.【答案】D

• • 【解析】由题意可知 A ( A - A ) = O ，故 r () A + r ( A - A ) 4 . * * * 又 A A ,故 A - A O ,即 r A - A 1 ( ) 因此 r () A 3 . 又 A ( A - A * ) = A 2 - AA * = A 2 - A E = A 2 = O

又 A A * r () A 1，故 r () A = 1或2 .

10. 设 A , B 为 2 阶矩阵，且 AB = BA , 则“ A 有两个不相等的特征值”是“ B 可对

角化”的

A. 充分必要条件.

B. 充分不必要条件.

C. 必要不充分条件.

D. 既不充分也不必要条件.

10.【答案】B

【解析】方法一

充分性， A 有两个不相等的特征值，故 A 必可相似对角化.

又 AB = BA , ，且 A 有 2 个不同特征值，故 A 的特征向量都是 A 的特征向量.（利用线代 9

讲结论）

又 A 有 2 个线性无关特征向量，故 B 有 2 个线性无关特征向量，故 B 必可相似对角化.

必要性， B 可相似对角化，不妨取 B = E , A = E ，则推翻.

【解析】方法二因题知 A 有两个不同特征值，不妨设为 1，2 且 1 2 ，则存在可逆

阵 P 使

B 可相似对角化 P -1 BP 可相似对角化.

之 B 可对角化 无法推出 A 有两不同特征值，故 A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分 非必要条件.

二、填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分．

2 11.曲线 y = x 在点 (0,0) 处的曲率圆方程为

2 【解析】由图像可转化为 y = x 处且

即

12.函数 f ( x , y ) = 2 x 3 - 9 x 2 - 6 y 4 +12 x + 24 y 的极点是 . 12.【答案】（1,1）

又

AC - B 2 = 432 > 0, A =-6, 代入点（1,1）得 故（1,1）是极大值点. AC - B 2 =-432 < 0, 代入点（2,1）得 故（2,1）不是极值点. 1 13.微分方程 y = 2 满足条件 y (1) = 0 的解为 . ( x + y ) π 13.【答案】 arctan ( x + y ) = y + 4