勾股定理，通过等量关系把直角三角形三边的联系在一起，由 等量关系自然就容易建立方程，因此这就提供了通过数形结合利用 方程思想解决直角三角形的线段或边的问题。
一、解答题
AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
2．已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°， 延长AE交BC的延长线于点G,
（1）求GE的长；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）求CF的长.
4．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm， 求EC的长．
5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE， 延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
6．如图，已知 中， ， 是角平分线， ， ，求 的长.
7．如图，折叠长方形一边 AD ，点 D 落在 BC 边的点 F 处， BC =10 cm ， AB =8 cm ．
求：（1） FC 的长；（2） EF 的长．
9．如图，铁路上 A 、 B 两点相距25 km ， C 、 D 为两村庄， DA ⊥ AB 于 A ， CB ⊥ AB 于 B ，已知 DA =15 km ， CB =10 km ，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得 C 、 D 两村到 E 站 的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的
速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
11．小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框
ABC ，已知风筝的高 AD =40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC
以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
13．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿 AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度 同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
说明理由．
14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的 厚度相等）．
15．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加 工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km， CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
16．在△ ABC 中， AB ＝15， BC ＝14， AC ＝13，求△ ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过
程．
17．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下
端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．求旗杆的高度．
于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水 点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB ＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
19．如图，已知长方形 ABCD 中， AB ＝8 cm ， BC ＝10 cm ，在边 CD 上取一点 E ，将△ ADE 折
叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F ，求 EF 的长．
20．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），
DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一 个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置， 并计算出收购站E到A站的距离.
21．如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点
A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
22．在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为 等腰直角三角形，求线段CD的长．
23．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，
本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知 AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使
它到两所学校的距离相等？
24．已知：如图，一块 R t△ ABC 的绿地，量得两直角边 AC =8cm， BC =6cm.现在要将这块绿 地扩充成等腰△ ABD ，且扩充部分（△ ADC ）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等 腰△ ABD 的周长.
（1）在图1中，当 AB = AD =10cm时，△ ABD 的周长为
（2）在图2中，当 BA = BD =10cm时，△ ABD 的周长为
（3）在图3中，当 DA = DB 时，求△ ABD 的周长.
25．如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
26．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动 脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结， 然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明 算出旗杆的高度．
1．CD的长为3cm.
【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-
x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2 +ED2 =BD2 ，即42 +x2 =（8-x）2 ．
解得：x=3．
∴CD=3．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示 出△DBE的三边长是解题的关键．
2．
【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出 AE =6，设 BD = x ，则 DE =8﹣ x ，
DC =16﹣ x ．在Rt△ ADE 和Rt△ ADC 中利用勾股定理得： AD2 = AE2 + DE2 = DC2 ﹣ AC2 ，继而代 入求出 x 的值即可．
解：如图,过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，
∵ AB = AC =10， BC =16，∴ BE = CE =8，
在Rt△ ACE 中，利用勾股定理可知： AE = = =6，
设 BD = x ，则 DE =8﹣ x ， DC =16﹣ x ，
又 DA ⊥ CA ，
在Rt△ ADE 和Rt△ ADC 中分别利用勾股定理得： AD2 = AE2 + DE2 = DC2 ﹣ AC2 ，
代入为：62 +（8﹣ x ）2 =（16﹣ x ）2 ﹣102 ，解得： x = ． 即 BD = ． 【点拨】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt△ ADE 和Rt△ ADC 中 分别利用勾股定理，列出等式 AD2 = AE2 + DE2 = DC2 ﹣ AC2 ． 3．（1） （2）证明见解析（3）CF=1 【解析】 （1）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC ∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G ∵E是CD的中点 ∴DE=CE ∴△ADE≌△GCE ∴AD=CG ∵AD=DC=4 ∴CG=4，CE=2 在Rt△GCE中，GE= （2）证明：由（1）得：△ADE≌△GCE ∴AE=GE ∵∠AEF=90° ∴EF垂直平分AG ∴AF=GF ∴∠FAE=∠G ∵∠DAE=∠G ∴∠FAE=∠DAE ∴AE平分∠DAF （3）解：在正方形ABCD中 ∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4 ∴DE=CE=2
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