<<航空工程先进数值计算技术>>

法
有限 单元 的基 本概 念和 理论 基础
王晓军
航空科学 与工程学 院固体力 学研究所

(1) 有限元法 ， 也叫有限单元法 ， 它的基本思想是将一个结构 或连续体的求解域离散为若干个子域 （ 单元 ）， 并通过它们 边界上的结点相互联结成为组合体 。

（ a ） 三角形单元 （ b ） 四边形单元 二维结构的有限元离散图

有限元法的基本思想

（ a ） 四面体单元

（ b ） 六面体单元

三维实体的有限元离散图

有限元法的基本思想

(2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示 全求解域内待求的未知场变量 。 而每个单元内的近似函数由未 知函数或及其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值 函数来表示 。 由于在联结相邻单元的结点上 ， 场函数应具有相 同的数值 ， 因而将它们用作数值求解的基本未知量 。 这样一 来 ， 求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数 结点值的有限自由度问题 。

(3) 有限元法是通过和原问题数学模型 （ 基本方程 、 边界条件 ） 等效的变分原理或加权余量法 ， 建立求解基本未知量 （ 场函数 的结点值 ） 的代数方程组或微分方程组 。 此方程组称为有限元 求解方程 ， 并表示成规范的矩阵形式 。 接着用数值方法求解此 方程 ， 从而得到问题的解答 。

有限元法的应用实例

某型飞机前机身 Catia 模型图

有限元法的应用实例

某型飞机前机身有限元模型图

有限元法的基本概念

结点载荷
结点力
单 元 与 结 点
结点是有限元法的重要概念有限元 ，
几何特性和物理特性的最小结构域 互作用力 相邻单元的作用通过结点传模型中 ， 这是离散而单元边界不传递力递 ， 结构与实际结构的重大差别 ；
即原始结构离散后单元满足一定 ： • ， 单元与单元间的连接点结点 ： • 。 单元与单元间通过结点的相结点力 ： • 结点载荷作用于结点上的外载 ： • 。 注意 ： 1) 结点力与结点载荷的差别 2)

单 元 与 结 点

有限元法的基本概念

结点不合法

不同材料