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初中二次函数知识点总结 + 专题练习

一、二次函数概念：

2 1．二次函数的概念：一般地，形如 y = ax + bx + c （ a ，， b c 是常数， a 0 ）的函数， 叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ， c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2 2. 二次函数 y = ax + bx + c 的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式

2 1. 二次函数基本形式： y = ax 的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

_a_的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
0 a>	向上	( ) 0 0 ，	_y_轴	0 x> 时，_y_随_x_的增大而增大； 0 x< 时，_y_随 _x_的增大而减小； 0 x= 时，_y_有最小值0．
0 a<	向下	( ) 0 0 ，	_y_轴	0 x> 时，_y_随_x_的增大而减小； 0 x< 时，_y_随 _x_的增大而增大； 0 x= 时，_y_有最大值0．

2 2. y = ax + c 的性质：

上加下减。

_a_的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
0 a>	向上	( ) 0 c ，	_y_轴	0 x> 时，_y_随_x_的增大而增大； 0 x< 时，_y_随 _x_的增大而减小； 0 x= 时，y_有最小值_c．
0 a<	向下	( ) 0 c ，	_y_轴	0 x> 时，_y_随_x_的增大而减小； 0 x< 时，_y_随 _x_的增大而增大； 0 x= 时，y_有最大值_c．

2 3. y = a ( x - h ) 的性质：

左加右减。

_a_的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
0 a>	向上	( ) 0 h，	X=h	x h > 时，y 随_x_的增大而增大；x h < 时，_y_随 _x_的增大而减小；x h = 时，_y_有最小值0．

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x > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 a < 0 向下 ( h ，0) X=h x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 0 ．

2 4. y = a ( x - h ) + k 的性质：

_a_的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
0 a>	向上	( ) h k ，	X=h	x h > 时，_y_随_x_的增大而增大；x h < 时，_y_随 _x_的增大而减小；x h = 时，y_有最小值_k．
0 a<	向下	( ) h k ，	X=h	x h > 时，_y_随_x_的增大而减小；x h < 时，_y_随 _x_的增大而增大；x h = 时，y_有最大值_k．

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

2 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h ) + k ，确定其顶点坐标 ( h ， k ) ；

• 2

• ⑵保持抛物线 y = ax 的形状不变，将其顶点平移到 ( h ， k ) 处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

2 2 ⑴ y = ax + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax + bx + c 变成 y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ） 2 2 ⑵ y = ax + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax + bx + c 变成

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• y = a ( x + m ) 2 + b ( x + m ) + c （或 y = a ( x - m ) 2 + b ( x - m ) + c ）

• 四、二次函数 y = a ( x - h )2 + k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较 从解析式上看， y = a ( x - h )2 + k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过 b 2 4 ac - b 2 b 4 ac - b 2

• 配方可以得到前者，即 y = a x + + ，其中 h =- ， k = ． 2 a 4 a 2 a 4 a

• 2

• 五、二次函数 y = ax + bx + c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a ( x - h )2 + k ，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画 图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0， c ) 、以及 (0， c ) 关于对称 轴对称的点 (2 h ， c ) 、与 x 轴的交点 ( x 1 ，0) ， ( x 2 ，0) （若与 x 轴没有交点，则取两 组关于对称轴对称的点）.

• 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴

• 的交点.

• 2

• 六、二次函数 y = ax + bx + c 的性质

  • b b 4 ac - b 2

  • 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x =- ，顶点坐标为 - ， ． 2 a 2 a 4 a

  • b b b

  • 当 x <- 时， _y_ 随 _x_ 的增大而减小；当 _x_ >- 时， y 随 x 的增大而增大；当 x =- 2 a 2 a 2 a 4 ac - b 2

  • 时， y 有最小值 ． 4 a

• b b 4 ac - b 2

• 2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x =- ，顶点坐标为 - ， ．当 2 a 2 a 4 a

• b b b

• x <- 时， _y_ 随 _x_ 的增大而增大；当 _x_ >- 时， y 随 x 的增大而减小；当 x =- 时， 2 a 2 a 2 a 4 ac - b 2

• y 有最大值 ． 4 a

• 七、二次函数解析式的表示方法

• 2

• 1. 一般式： y = ax + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y = a ( x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两根式： y = a ( x - x 1)( x - x 2 ) （ a 0 ，^x 1^，x 2^{是抛物线与_x_轴两交点的横坐标）.}

• 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次 函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 - 4 ac 0 时，抛物

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线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互 化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数 a

2 二次函数 y = ax + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．

⑴当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小， ⑵当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，

开口越大；

开口越大．

总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数 b

在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．

⑴在 a > 0 的前提下， b 当 b > 0 时， - < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2 a b 当 b = 0 时， - = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2 a b 当 b < 0 时， - > 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2 a

⑵在 a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即 b 当 b > 0 时， - > 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2 a b 当 b = 0 时， - = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2 a b 当 b < 0 时， - < 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 2 a

总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．

b ab 的符号的判定：对称轴 x = - 在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 2 a

ab < 0 ，概括的说就是“左同右异”

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总结：

3. 常数项 c

   • ⑴当 c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐

标为正；

• ⑵当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵

坐标为 0 ；

• ⑶当 c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐

标为负．

• 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．

• 总之，只要 a ，， b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一 般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

• 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

• 1. 关于 x 轴对称
  • y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y =- ax 2 - bx - c ；

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2 2 y = a ( x - h ) + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y =- a ( x - h ) - k ；

2. 关于 y 轴对称

y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ； 2 2 y = a ( x - h ) + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a ( x + h ) + k ；

3. 关于原点对称

2 2 y = ax + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y =- ax + bx - c ； 2 2 y = a ( x - h ) + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y =- a ( x + h ) - k ；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）

y = ax 2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y =- ax 2 - bx + c - b 2 ； 2 a 2 2 y = a ( x - h ) + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y =- a ( x - h ) + k ． 5. 关于点 ( m ， n ) 对称

• 2 2

• y = a ( x - h ) + k 关于点 ( m ， n ) 对称后，得到的解析式是 y =- a ( x + h - 2 m ) + 2 n - k

• 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生

• 变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或 方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知 的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）： 2 2

一元二次方程 ax + bx + c = 0 是二次函数 y = ax + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：

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• ①当 = b 2 - 4 ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x 1 ，，0) B ( x 2 ，0) ( x 1 x 2 ) ，其中的 x 1 ， x 2 2

• 是一元二次方程 ax + bx + c = 0( a 0) 的两根．这两点间的距离 b 2 - 4 ac

• AB = x 2 - x 1 = . a

②当 = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③当 < 0 时，图象与 x 轴没有交点.

• 1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ； 2' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ． 2

• 2. 抛物线 y = ax + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c ) ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

   • ⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

• ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶

• 点式；

  • 2

  • ⑶根据图象的位置判断二次函数 y = ax + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函 数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

  • ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的 点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

0 >	抛物线与_x_轴	二次三项式的值	一元二次方程有两个不相
	有两个交点	可正、可零、可负	等实根
0 =	抛物线与_x_轴	二次三项式的值	一元二次方程有两个相等
	只有一个交	为非负	的实数根

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	点			⑸
0 <	抛物线与_x_轴	二次三项式的值	一元二次方程无实数根.	与
	无交点	恒为正		二
				次

2 函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax + bx + c ( a 0) 本身就是所含字母 x 的 二次函数；下面以 a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之 间的内在联系：

图像参考：

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十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用 何时获得最大利润
最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型
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• 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中， 如：

• 已知以 x 为自变量的二次函数 y = ( m - 2) x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点，则 m 的值是

  • 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习 题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类 型为选择题，如：

如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx -1的图像大致是（ ）

• 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频 率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 5

• 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x = ，求这条抛物 3

• 线的解析式。

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极 值，有关试题为解答题，如： 2 已知抛物线 y = ax + bx + c （a≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3， 与y 轴交点的纵坐标是－³

2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、 对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

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