第二节群的表示 点群的群表概括了分子对称操作的所有乘 积，原则上讲，造出并运用各点群的群表就可以 处理分子体系的各种问题，然而这样做，不仅很 麻烦(特别是高阶群)而且没有必要。实际上最好 的办法是研究与点群同态的矩阵群(群元素是矩 阵，群定义的“乘法”为矩阵的乘法)来表示点群。 由于用矩阵代数代替了对称操作的几何变换，用 最终求得的特征标表来代替了群表，因而使得应 用群论解决实际问题变得更为简便更加深入。

第二节群的表示

• 群的表示：

以 C3v 群为例，寻求其的一个表示。这个点

由 六个对称操作 组成。 假定 C3 轴与笛卡儿坐标系的 Z 轴共线， σ v 为 σ xz 平

面，则容易证明代表作用一个普通点 ( x,y,z ) 变换 的矩阵为：

第二节群的表示

第二节群的表示

很容易证明，这六个矩阵形成的乘法表与用 对称操形成的乘法表结构是完全相同的。此外， 我们可以证明：这六个矩阵在矩阵乘法下形成一 个矩阵群：

(1) 封闭性：任意两个矩阵的乘积是六个矩阵之一； (2) 结合律：矩阵乘法满足结合律；

(3) 单位元素：单位矩阵即为单位元素；

(4) 可逆元素：

第二节群的表示

此矩阵群和 C3v 点群同构，构成 C3v 群的一个表示。 通常我们可以这样表述：如果群 G 可用和它同构或同 态的矩阵群 M 来描述，则称群 M 为群 G 的一个表示。 显然两个同构的点群有相同的表示。 对于任意一个具体的群，可以继续找到多少个表 示？

如 C3v 群，还存在一些很简单的表示，比如：

第二节群的表示

还可以表示为：

当然，还可以有一些高阶的表示方法，总之，表示 的数目是非常之大的。

第二节群的表示

2. 可约表示和不可约表示

假设我们有一组矩阵 E 、 A 、 B 它构成了一个群的 表示，若我们对每个矩阵进行同样的相似变换，得到 一组新的矩阵，即：

容易证明，这组新的矩阵也是群的一个表示。即 设： AB ＝ C ，则：

第二节群的表示

显然，在这组矩阵 E’ 、 A’ 、 B’ … 中所有的乘积都 与表示 E 、 A 、 B … 中的乘积相对应，所以带撇的一 组也构成一个表示。

此时，假设当利用 D 或某个矩阵把矩阵 A 变换成 A’ ， A’ 是一个划分为方块因子的矩阵。即：

第二节群的表示

假设每个矩阵 A 、 B 、 C 等等都按同样方式划分成方 块，那么，每个矩阵的对应方块可以单独相乘，且 有：

第二节群的表示

这些等式可写成： 由此可见， E’1 ， A’1 ， B’1 ， … E’2 ， A’2 ， B’2 ， … 本身也是一个表示。