四川省成都石室中学2025年高考适应性测试演练模拟考试（八省联考模拟）数学含答案.pdf

成都石室中学2025年高考适应性测试演练模拟考试

数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷(选择题，共58分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 化简(2 $\mathrm { \Omega _ { i + } ^ { 3 } } \mathrm { { } } _ { \mathrm { i } } \mathrm { { + } } \frac { 1 } { \mathrm { i } } \mathrm { { } } ^ { 3 }$ 等于 A.1 B. i C. -1 D. -i

2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文 $a + 2 b , 2 b + c , 2 c + 3 d ,$ 4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文 $1 4 , 9 , 2 3 , 2 8$ 时，则解密得到的明文为A.6,4,1,7 B.4,6,1,7C.7,6,1,4 D.1,6,4,7

3. 圆 $x ^ { 2 } - 8 x + y ^ { 2 } + 7 = 0$ 和圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 6 y + 5 = 0$ 的公切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

4. 已知A为△ABC的一个内角，且 $\tan \left( A + { \frac { \pi } { 4 } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } }$ ,则 $\cos A =$ A. $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 }$ B. $- \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 }$ C. $\frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 }$ D. $- { \frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } }$

5.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题正确的是A. 若 $\alpha \perp \beta , m \subset \alpha , n \subset \beta ,$ 则 $m \perp n$ B. ${ \frac { \hbar } { \hbar } } \alpha / / \beta , m \subset \alpha , n \subset \beta ,$ 则 $m / / n$ C. 若 $m \perp n , m \subset \alpha , n \subset \beta$ ,则α⊥βD. 若 $m \perp \alpha , m / / n , n / / \beta$ ,则α⊥β

6. 已知向量 a与 b 的夹角为 120°， $| a | = 3 , | a + b | = { \sqrt { 1 3 } } ,$ 则|b|等于A.1 B.3 C.4 D.5

7. 设集合 $A = { \Big { } n \in \mathbf { N }$ * $\frac { 3 ^ { n } + 4 ^ { n } } { 7 }$ ∈N*}，将A中的元素按照从小到大的顺序排列，前10个数的和等于A.55 B.100 C.145 D.280

8. 已知 $a { > } 2 { , } 8 ^ { a } + 1 5 ^ { a } = 1 7 ^ { b } ,$ 则A.a>b>2 B.a>2>bC.b>a>2 D.b>2，但a和b的大小关系无法确定

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设. $x _ { 1 } \ldots x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }$ 的极差为X，平均值为x，中位数为m，方差为 $s . \ y _ { i } = a x _ { i } + b ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ ,其中a,b∈R. $y _ { 1 } , y _ { 2 } , \cdots , y _ { n }$ 的极差为Y，平均值为y，中位数为p，方差为t,则A.Y =aX +b B. ${ \overline { { y } } } = a { \overline { { x } } } + b$ C. $\scriptstyle { p = a m + b }$ D. $t = a s + b$

●线

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八省联考模拟考试·数学第1页(共4页) 命题人：成都石室中学数学备课组

八省联考模拟考试·数学第2页(共4页) 命题人：成都石室中学数学备课组

10.已知 $f ( x ) = \sin ^ { 4 } x + 2 { \sqrt { 3 } } \sin x \cos x - \cos ^ { 4 } x , |$ 则A. f(x)的最小正周期为 πB. 存在 ${ \boldsymbol { x } } _ { 0 } \in \mathbf { R } ,$ 使得 $f ( x _ { 0 } ) { > } f \big ( \frac { \pi } { 3 } \big )$ C.若f(x+φ)为奇函数，则|φ|的最小值为 $\frac { \pi } { 1 2 }$ D. 若 $f ( x _ { 1 } ) = f ( x _ { 2 } ) = 1 ( x _ { 1 } \neq x _ { 2 } )$ ,则 $f ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) = 2$

11.设△ABC 中， $. A B = 2 A C .$ 下列命题正确的有A. 若 $A C { = } 3 , \ " \ " \bigcup \triangle A B C$ 的周长的取值范围是(9,18)B. 若AC=3，则△ABC的面积的最大值是9C.若BC=3，则2 $\triangle A B C \sharp$ 的周长的取值范围是(6,12)D. 若BC=3，则△ABC的面积的最大值是3

第Ⅱ卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $( x - 1 ) ( x + 1 ) ^ { 8 }$ 的展开式中 x⁵的系数是▲

13. 椭圆 $\frac { \cdot x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 2，焦距为2c，若直线 $\scriptstyle { y = { \sqrt { 3 } } ( { \boldsymbol { x } } + { \boldsymbol { c } } ) }$ 与椭圆的一个交点M满足 $\angle M F _ { 1 } F _ { 2 } = 2 \angle M F _ { 2 } F _ { 1 }$ ，则该椭圆的离心率等于▲

14.已知 $m { > } 0 , n { > } 0$ 且 $m + n = { \sqrt { a } }$ ,若当 $\left( m + \frac { 1 } { m } \right) \left( n + \frac { 1 } { n } \right)$ 取最小值时 $\sharp m = n , \lVert \rVert$ a 的取值范围是▲

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为 $\lceil \frac { \underline { { { \bf { \sigma } } } } } { 2 } .$ 某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响.(1)此人至少得到一张红色卡片的概率；(2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率.八省联考模拟考试·数学第3页(共4页) 命题人：成都石室中学数学备课组

16.(本小题满分15分)设 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 3 } } \mathrm { e } ^ { - x } ( 2 x ^ { 2 } + 4 a x + 4 a )$ (1)当a=2时，求f(x)的极小值；(2)若 f(x)的极大值为4,求 a的值.

17.（本小题满分15分)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱

AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面 ABC是边长为 2的正三角形，其重心为G，E是线段BC1上一点，且GE∥平面 $A A _ { 1 } B _ { 1 } B .$
(1)求 $\frac { B E } { B C _ { 1 } }$ 的值；
(2)求平面B1GE与底面ABC所成的二面角的正切值.

18.（本小题满分17分)已知数列{an}满足a $\ O _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } , ( 1 - a _ { n } ) a _ { n + 1 } = \frac { 1 } { 4 } .$ (1)设 $b _ { n } = a _ { n } + \alpha , \neqq C$ 的值，使得对于任意n∈N*且n≥2，都有 $\frac { 2 } { b _ { n } } = \frac { 1 } { b _ { n + 1 } } + \frac { 1 } { b _ { n - 1 } } ;$ (2)求证 $\vdots { \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } } + { \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } } + \cdots + { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } < n + { \frac { 3 } { 4 } } .$

19.(本小题满分17分)设动点P到点(2,0)的距离与到直线x=-2的距离之积等于4,动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C与x轴的交点的坐标.(2)过点(1,0)作不与坐标轴垂直的直线l.i)判断直线l与曲线C的交点的个数，并证明你的结论；ii)定义平面上 n 个点 A1，A2， …,An的重心 G 为满足 $\overrightarrow { \mathrm { G A _ { 1 } } } + \overrightarrow { \mathrm { G A _ { 2 } } } + \cdots + \overrightarrow { \mathrm { G A _ { { n } } } } = { \bf 0 }$ 的点，若直线l与曲线C的所有交点的重心G到点 $\left( \frac { 5 } { 4 } , 0 \right)$ 的距离等 $\operatorname { f } { \frac { 7 } { 4 } }$ ,求点G的横坐标.（注：关于x的一元 n次方程 $a _ { n } x ^ { n } + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 } = 0 ( a _ { n }$ ≠0)有 n 个复数根$x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }$ , 且 x1 $+ x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } = - { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n } } } , x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n } = { \frac { ( - 1 ) ^ { n } a _ { 0 } } { a _ { n } } } . )$

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八省联考模拟考试·数学第4页(共4页)

命题人：成都石室中学数学备课组

成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届八省联考模拟考试数学参考答案

双向细目表

题号	题型	分值	难度预估	具体内容	能力层次
					了解	理解	掌握
1	单项选择题	5	0.95	复数的运算		V
2	单项选择题	5	0.95	函数与方程的应用		V
3	单项选择题	5	0.95	圆和圆的位置关系		V
4	单项选择题	5	0.9	简单的三角恒等变换		V
5	单项选择题	5	0.85	空间中的平行与垂直关系		V
6	单项选择题	5	0.8	平面向量的数量积			V
7	单项选择题	5	0.7	集合			V
8	单项选择题	5	0.5	函数的单调性			V
9	多项选择题	6	0.9	样本的数字特征		V
10	多项选择题	6	0.7	三角函数的图象与性质		V
11	多项选择题	6	0.4	解三角形的应用			V
12	填空题	5	0.9	二项式定理		V
13	填空题	5	0.7	椭圆的简单几何性质		V
14	填空题	5	0.5	基本不等式			V
15(1)	解答题	6	0.95	随机事件的概率			V
15(2)	解答题	7	0.9	条件概率			V
16(1)	解答题	7	0.8	函数的极值			V
16(2)	解答题	8	0.7	函数的极值			V
17(1)	解答题	7	0.75	直线与平面平行的性质			V
17(2)	解答题	8	0.6	二面角			V
18(1)	解答题	8	0.7	数列的递推公式			V
18(2)	解答题	9	0.4	数列的通项与求和			V
19(1)	解答题	4	0.7	曲线的方程			V
19(2)i)	解答题	6	0.4	直线与曲线的位置关系			V
19(2)ii)	解答题	7	0.2	直线与曲线的位置关系			V

八省联考模拟考试·数学参考答案第1页(共5页)

答案及解析

1.【参考答案】D

【解题思路 $\mathbf { \delta } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \mathbf { \lambda } } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \lambda } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \tilde { \lambda } } \mathbf { \lambda } \mathbf { \lambda }$ .故选D.

2.【参考答案】A

【解题思路】由 $a + 2 b = 1 4 , 2 b + c = 9 , 2 c + 3 d = 2 3 , 4 d = 2 8$ ,解得 $a = 6 , b = 4 , c = 1 , d = 7$ .故选 A.

3.【参考答案】C

解题思路】由题意，两圆的方程可化为 $( x - 4 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9$ 和 $x ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = 4$ ，两圆的圆心距为5，半径分别为3和2，因此两圆外切，有3条公切线.故选C.

4.【参考答案】D

【解题思路】由题意，得 $\tan A = \tan \left[ \left( A + { \frac { \pi } { 4 } } \right) - { \frac { \pi } { 4 } } \right] = - { \frac { 1 } { 3 } } < 0$ ，因此A为钝角，所以 $\cos A =$ $- { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } A } } } = - { \frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } }$ . 故选 D.

5.【参考答案】D

【解题思路】对于A，设 $\alpha \cap \beta = l$ ,取m和n均与l平行，则 $m / / n$ ，故 A 错误.对于 B,可取 m与 n 为异面直线，故B错误.对于C，取m为α与β的交线，可知C错误.对于D，过n作任意平面与β交于直线l，则 $l / / m , l \perp \alpha ,$ 从而 $\alpha \perp \beta ,$ 故 D正确.故选 D.

6.【参考答案】C

【解题思路】由题意，得 $\pm { \bf { \sigma } } ^ { 2 } + 2 { \bf { \sigma } } \cdot { \bf { \sigma } } b + b ^ { 2 } = 1 3$ ,即 $9 - 3 | \pm | \pmb { b } | ^ { 2 } = 1 3$ ，解得|b|=4(负值已舍去).故选C.

7.【参考答案】B

【解题思路】直接分析3”与4”的和除以7的余数的规律可知，A是所有正奇数的集合，其前10个数的和等于 $1 + 3 + 5 + \cdots + 1 9 = 1 0 0$ .故选 B.

8.【参考答案】A

【解题思路】由于 $a > 2$ ,所以 $1 7 ^ { b } = 8 ^ { a } + 1 5 ^ { a } > 8 ^ { 2 } + 1 5 ^ { 2 } = 1 7 ^ { 2 }$ ,因此 $b > 2 .$ 又因为 $1 7 ^ { b - a } = \left( \frac { 8 } { 1 7 } \right) ^ { a } + \left( \frac { 1 5 } { 1 7 } \right) ^ { a } <$ $\left( { \frac { 8 } { 1 7 } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { 1 5 } { 1 7 } } \right) ^ { 2 } = 1$ ,所以 $b - a < 0$ ,即 $b < a .$ 故选 A.

9.【参考答案】BC

【解题思路】不妨设 $\scriptstyle x _ { 1 } \leqslant x _ { 2 } \leqslant \cdots \leqslant x _ { n }$ ,则易知 $Y = \left| \boldsymbol { a } \right| \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { X }$ ，故A不正确.由平均值、中位数及方差的定义可知，B，C正确，而D不正确.故选BC.

10.【参考答案】AC

【解题思路】 $f ( x ) = { \sqrt { 3 } } \sin 2 x - \cos 2 x = 2 \sin \left( 2 x - { \frac { \pi } { 6 } } \right)$ ，因此 f(x)的最小正周期等于π，故A正确.由于 $\mathrm { \dot { \bar { \rho } } } f ( \chi ) _ { \mathrm { m a x } } = f \Bigl ( \frac { \pi } { 3 } \Bigr ) = 2$ ，故B不正确.由于f(x)的对称中心为点 $\left( { \frac { k \pi } { 2 } } + { \frac { \pi } { 1 2 } } , 0 \right) \left( k \in { \bf Z } \right)$ ，其中离原点最近八省联考模拟考试·数学参考答案第2页(共5页)

的一个为 $\left( \frac { \pi } { 1 2 } , 0 \right)$ ，故C正确.取 $x _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 7 \pi } { 6 }$ ,则 $f ( x _ { 1 } ) = f ( x _ { 2 } ) = 1$ ,但 $f ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) = - 1$ ，故D不正确. 故选 AC.

11.【参考答案】BCD

【解题思路】当AC=3时， $A B = 6$ 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知， $3 { < } B C { < }$ 9,因此 $\triangle A B C$ 的周长的取值范围是(12，18)，故A错误.由 $S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } \times A B \times A C \times \sin A = 9 \sin A$ 可知，当 $A = 9 0 ^ { \circ }$ 时， $\triangle A B C$ 的面积取到最大值9，故B正确.当 $B C = 3$ 时，由 $A B + A C > B C$ ,即 $3 A C >$ $B C .$ 得 $A C > { \frac { 1 } { 3 } } B C = 1$ ;由 $A B - A C < B C$ ,得 $A C { < } B C { = } 3$ ,从而 $1 { < } A C { < } 3$ ，因此 $\triangle A B C$ 的周长的取值范围是(6，12)，故C正确.以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设C(3，0)，$A ( x , y )$ ,则 $\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 2 \sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，整理得 $( x - 4 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$ ，因此点A到直线BC的距离的最大值为2,则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为3，故D正确.故选BCD.

12.【参考答案】14

【解题思路】由于 $( x + 1 ) ^ { 8 }$ 的展开式中 $\cdot \boldsymbol { x } ^ { 5 }$ 的系数是 $\mathrm { C _ { 8 } ^ { 3 } } = 5 6 \ : , x ^ { 4 }$ 的系数是 $C _ { 8 } ^ { 4 } = 7 0$ ,因此 $\left( { { x - 1 } } \right) \left( { { x + 1 } } \right) ^ { 8 }$ 的展开式中 $x ^ { 5 }$ 的系数是 $7 0 - 5 6 = 1 4$

13.【参考答案】3-1

【解题思路】由题意可知， $\angle M F _ { 1 } F _ { 2 } = 6 0 ^ { \circ } , \angle M F _ { 2 } F _ { 1 } = 3 0 ^ { \circ }$ ，从而 $\angle F _ { 1 } M F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ }$ ，所以 $e =$ ${ \frac { \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid } { \mid M F _ { 1 } \mid + \mid M F _ { 2 } \mid } } = \sqrt { 3 } - 1$

14.【参考答案】 $( 0 , 8 + 4 \sqrt { 5 }$

【解题思路】由于 $m n { \leqslant } { \Big ( } { \frac { m + n } { 2 } } { \Big ) } ^ { 2 } = { \frac { a } { 4 } }$ ，当且仅当 m= n 时等号成立. $\left( m + { \frac { 1 } { m } } \right) \left( n + { \frac { 1 } { n } } \right) = m n + { \frac { 1 } { m n } } +$ ${ \frac { ( m + n ) ^ { 2 } - 2 m n } { m n } } = m n + { \frac { a + 1 } { m n } } - 2 .$ 由于函数 $\scriptstyle y = x + { \frac { a + 1 } { x } }$ 在 $( 0 , \sqrt { a + 1 } )$ 上单调递减， $( { \sqrt { a + 1 } } , + \infty )$ 上单调递增，若 $\left( m + \frac { 1 } { m } \right) \left( n + \frac { 1 } { n } \right)$ 取最小值时有 $m = n$ ,则 $\sqrt { a + 1 } \geqslant \frac { a } { 4 }$ ，即 $a ^ { 2 } - 1 6 a - 1 6 \leqslant 0$ .又由于 $a > 0$ 所以 a的取值范围是 $( 0 , 8 + 4 { \sqrt { 5 } } ]$

15.解：设此人得到的卡片中红色的有X张，蓝色的有Y张，则 $X { \sim } B { \left( 4 , \frac { 1 } { 2 } \right) } , Y { \sim } B { \left( 4 , \frac { 1 } { 2 } \right) }$ .(2分)(1) $P ( X \geqslant 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) = 1 - { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Big ) } ^ { 4 } = { \frac { 1 5 } { 1 6 } }$ ，即此人至少得到一张红色卡片的概率为 ${ \frac { 1 5 } { 1 6 } } .$ (6分)(2) $P ( Y \geqslant 1 | X \geqslant 1 ) = { \frac { P ( X \geqslant 1 , Y \geqslant 1 ) } { P ( X \geqslant 1 ) } } = { \frac { 1 - P ( X = 0 ) - P ( Y = 0 ) } { P ( X \geqslant 1 ) } } = { \frac { 1 - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 4 } - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 4 } } { \frac { 1 5 } { 1 6 } } } = { \frac { 1 4 } { 1 5 } }$ ，即若已知此人至少有一张红色卡片，则此人至少有一张蓝色卡片的概率为 ${ \frac { 1 4 } { 1 5 } } .$ （13分)

八省联考模拟考试·数学参考答案第3页(共5页)