一、曲线坐标系下连续性方程的推导
首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选 取无关的微分形式的连续性方程：
质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。 在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为 ，质量为 ，则
为了与随体符号 区别开来，这里用 来表示对坐标的微分。
根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立
根据公式： ，得
因 是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：
式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。下面将写出它在曲线坐标下
的形式。
因为
所以
将 式代入 得到曲线坐标下连续性方程的形式为：
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二、曲线坐标系下 方程的推导
方程：
首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的 方程： 任取一体积为τ 的流体如图1所示，设其边界面为 ，根据动量定理，体积 中流体 动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。以 表示作用在单位质量上的质量 力分布函数，而 表示作用于单位面积上的面力分布函数。
则作用在 上和 上的总质量力和面力为
及
其次，体积 内的动量是
于是，动量定理可写成下列表达式：
利用公式 ，得：
再利用的是高斯公式得：
其中 是应力张量。 将 和 式代入 式，整理得：
因 任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即
式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在 曲线坐标下的形式。
因为
故
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二、曲线坐标系下 方程的推导
上式中利用到等式：
， ，
现在进一步处理 式右端的第二项
，根据定义有
故
又
考虑到：
将上面的 式代入 中，整理得，
同理
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二、曲线坐标系下 方程的推导
将 ， ， 表达式代入 式，得
因为 所以 速度 的随体导数
同理可得 所以 式可简化为
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二、曲线坐标系下 方程的推导
至此，我们将 表示成曲线坐标系下的形式了。 在曲线坐标系下表示成: 最后，我们将 表示成曲线坐标系下的形式。 应力张量 ：
，共九个量
可以证明应力张量 是对称张量，所以也可以将 写成
其在曲线坐标面上表示为
由 式得：
其中
同样把 、 、 用 式代替得
考虑到
二、曲线坐标系下 方程的推导
因此可将 式化为：
同理：
将以上三式代入 式，得
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二、曲线坐标系下 方程的推导
至此，已将 、 、 全部表示成曲线坐标系下的形式，将其都代入 式，
并考虑对应项相等原则，有
式就是曲线坐标系下的 方程的具体形式。
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