固体物理学习题解答-陈长乐.pdf

固体物理学习题解答

陈长乐主编

内容简介

本书编选了固体物理学基础部分的思考题，典型习题和部分院校的研究生入学考试试题，并给出了详细解答或思考提示

本书可作为本科固体物理学课程教学和研究生入学考试复习的参考书

i

前 言

《固体物理学》(陈长乐编著，科学出版社出版，2007)出版发行以来，受到全国同行和同学的良好评价和认同，很多学校采用为固体物理学课程的教科书.不断有任课老师和同学来信询问索要课后习题解答.为了满足教学和读者的需求，应科学出版社要求，我们编写了该习题集

本题解是在长期教学过程中使用的教学辅助资料的基础上增补并修改而成的内容除《固体物理学》一书基础部分所有课后思考题和习题的详细解答（或提示)外，还根据教学内容的深化和研究生入学考试复习的需要，增选了部分习题和考题并进行了解答，使内容更加完善.

本题解是集体劳动的成果. 先后参加此项工作的有西北工业大学应用物理系的历届四年级本科生和陕西省凝聚态结构与性质重点实验室的研究生，他们是洪振宇，张鹏，陈钊，徐宏来，代富平，吴小丽，金克新，王建元等.特别是2005级李潜同学为本书提供了部分补充习题，完成了部分习题的解答以及绘图和排版等大量工作在此一并对他们表示衷心感谢

习题编选和解答是一项细致的工作，要求对课程内容和教学要求有深入的理解和把握.由于本人水平有限，加之教学和科研任务繁重，谨慎思考甚欠，书中错误和疏漏之处在所难免，恳请广大同行和读者不吝指正

编 者

2008年10月

i

目 录

第一章 晶体结构 1
§1.1 内容提要. 1
§1.2 思考题提示 3
§1.3 习题详解.. 5
§1.4 补充习题及解答. 12
第二章 晶体结合 21
§2.1 内容提要. 21
§2.2 思考题提示 22
§2.3 习题详解.. 23
§2.4 补充习题及解答. 28
第三章 晶格振动与晶体的热学性质 33
§3.1 内容提要.. 33
§3.2 思考题提示 35
§3.3 习题详解.. 37
§3.4 补充习题及解答. 45
第四章 能带理论 60
§4.1 内容提要. 60
§4.2 思考题提示 61
§4.3 习题详解.. 62
§4.4 补充习题及解答.. 74
第五章 金属电子论 87
§5.1 内容提要.. 87
§5.2 思考题提示. 88
§5.3 习题详解.. 90
§5.4 补充习题及解答.. 96
第六章 晶体的缺陷与相图 107
§6.1 内容提要..... .. 107
§6.2 思考题提示. . 109
§6.3 习题详解.... . 110
§6.4 补充习题及解答.. . 114
参考文献 120

ii

iii

第一章 晶体结构

§1.1 内容提要

1 晶体与非晶体

固体按其分子(原子）排列的有序程度，可分为晶体与非晶体，晶体具有长程有序，非晶体仅具有短程序.长短程序的区分是以微米数量级为界限的

2 晶格结构的周期性

实际晶体:把全同的基元放在空间点阵的晶格上即构成实际晶体

晶格平移矢量:格点的位置可由晶格平移矢量 $\pmb { R } _ { n } = n _ { 1 } \pmb { a } _ { 1 } + n _ { 2 } \pmb { a } _ { 2 } + n _ { 3 } \pmb { a } _ { 3 }$ 描述,${ \mathbf { } a _ { 1 } , \mathbf { } a _ { 2 } , \mathbf { } a _ { 3 } }$ 称为固体物理学基矢，它们分别表示3个不共面方向上的最短周期，它们的选取基具有任意性

布拉维格子:每个格点周围情况完全相同的格子称为布拉维格子，基元代表点（格点）形成的格子都是布拉维格子

复式格子:由两个以上布拉维格套合而成的格子称为复式格子，若以原子为组成单位，多原子基元组成的晶体为复式格子结构

3 晶格的对称性

对称操作:能使晶体自身重合的操作称为对称操作.晶体只有 $C _ { 1 } , C _ { 2 } , C _ { 3 } , C _ { 4 }$ $C _ { 6 } , \sigma , i , S _ { 4 }$ 等8种独立的对称操作，称为基本对称操作.

晶体的宏观对称性:晶体的宏观对称性共有32种.它们由8种基本对称操作组合而成的.每种组合称为一个点群

晶体的对称性描述:考虑到晶体微结构的平移对称性(周期性)，晶体的对称性类型可由230种空间群描述

晶系: 满足 32种宏观对称类型的晶胞，其基矢 a,b, c的组合只有7种，每一种组合称为一个晶系.

14种布拉维晶胞：按照格点在晶系中的分布情况，以上7种晶系又可以分为14种布拉维晶胞

4 配位数

晶体原子最近邻的原子数目称为配位数，由于受晶格对称性的限制，晶体的配位数只可能是12,8,6,4,3,2等6种.

1

5 晶面指数，米勒指数

晶体中的不同晶面系可用晶面指数(lmn)来描述，它是晶面系中任一晶面在以原胞基矢 ${ \mathbf { } a _ { 1 } , \mathbf { } a _ { 2 } , \mathbf { } a _ { 3 } }$ 为单位长度的坐标轴上截距的互质的倒数比.若选取晶胞基矢${ \mathbf { } } a , b , c$ 作为坐标轴，晶面指数称为米勒指数，用(hkl)表示

晶面指数与晶面法线方向n余弦之间的关系为

$$ \cos ( { \pmb a } _ { 1 } , { \pmb n } ) : \cos ( { \pmb a } _ { 2 } , { \pmb n } ) : \cos ( { \pmb a } _ { 3 } , { \pmb n } ) = l : m : n . $$

对正交晶系，晶面系中两相邻晶面的面间距为

$$ d _ { h k l } = { \frac { 1 } { \sqrt { \left( { \frac { h } { a } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { k } { b } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { l } { c } } \right) ^ { 2 } } } } . $$

晶面上的格点密度 $\sigma$ 与面间距 $d$ 之间满足

$$ \sigma = \rho d , $$

式中， $\rho$ 为格点体密度.

6 倒格子

1. 定义

若 $\mathbf { a } _ { i }$ 表示正格子，则倒格子 $b _ { i }$ 定义为 $\pmb { a } _ { i } \cdot \pmb { b } _ { j } = 2 \pi \delta _ { i j }$ ，由定义可得

$$ { \pmb b } _ { i } = \frac { 2 \pi } { \Omega _ { \mathrm { d } } } ( { \pmb a } _ { j } \times { \pmb a } _ { k } ) , $$

式中， $\varOmega _ { \mathrm { d } } = \mathbf { { a } } _ { 1 } \cdot \left( \mathbf { { a } } _ { 2 } \times \mathbf { { a } } _ { 3 } \right)$ 为正格子原胞体积.

2. 倒格矢

$$ \begin{array} { r } { G = h _ { 1 } b _ { 1 } + h _ { 2 } b _ { 2 } + h _ { 3 } b _ { 3 } . } \end{array} $$

正倒格子的关系如下:

(1) $\varOmega _ { \mathrm { r } } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } / \varOmega _ { \mathrm { d } } , \varOmega _ { \mathrm { r } } = { b _ { 1 } } \cdot ( { b _ { 2 } } \times { b _ { 3 } } )$ 为倒格子原胞体积

(2) $d _ { h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } } = 2 \pi / G _ { h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } }$

(3)正格子空间的周期函数 $V ( r + R ) = V ( r )$ 可展开为

$$ V ( \pmb { r } ) = \sum _ { \pmb { G } } V ( \pmb { G } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pmb { G } \cdot \pmb { r } } . $$

2

第一章 晶体结构

§1.2 思考题提示

7 布里渊区

布里渊区的界面方程为

$$ k \cdot G = G ^ { 2 } / 2 . $$

布里渊区的特征:各布里渊区体积相等，平移某个倒格矢后都可与第一布里渊区重合.

8 晶体的X射线衍射

1. 劳厄方程

若分别以 $ { \boldsymbol { k } } _ { 0 }$ 和k分别表示入射光和散射光的波矢量，G表示倒格矢，则满足

$$ k _ { 0 } - k = G $$

或

$$ k _ { 0 } \cdot G = { \frac { G ^ { 2 } } { 2 } } $$

时，出现晶体对该光的衍射加强一劳厄斑

由劳厄方程可推导出布拉格定理

$$ 2 d _ { h k l } \sin \theta = n \lambda . $$

2. 原子散射因子

$$ f ( s ) = \sum _ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } G \cdot r _ { i } } = \int \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } G \cdot r } \rho ( \pmb { r } ) \mathrm { d } \tau $$

描述原子对X射线的散射能力， $\rho ( \pmb { r } )$ 为电子云密度.

3. 几何结构因子

$$ { \cal F } ( G ) = \sum _ { j = 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } G \cdot r _ { j } } f _ { j } ( s ) $$

描述原胞中原子分布和原子种类对散射强度的影响 $F ( G ) = 0$ 时，出现消光现象，即满足劳厄方程斑，此时并不出现.

§1.2 思考题提示

1.1 简述晶态，非晶态，单晶，多晶，准晶的特征和性质. (略)

1.2 晶体结构可分为布拉维格子和复式格子吗？

提示晶体对基元代表点而言都是布拉维格子，复式格子只是对原子代表点而 言的.

3

1.3 引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉维格子， ${ \mathbf { } a _ { 1 } , \mathbf { } a _ { 2 } , \mathbf { } a _ { 3 } }$ 的选择不是惟一的，它所对应的 $b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 }$ 也不是惟一的.因而有人说一个布拉维格子可以对应与几个倒格子，对吗？复式格子的倒格子也是复式格子吗？

答 引入倒格子对与晶格周期性有关的物质性质的表述和计算带来方便;一个布拉维格子只有一个倒格子与之对应，但可以有不止一种表示，就像同一个矢量在不同坐标系中的表示可以是不同的;复式格子是由相对移位的布拉维格子套构而成的，因而其倒格子也是套构而成的，但倒格子是相对布拉维格子而言的，因此倒格子只能是布拉维格子

1.4 当描述同一晶面时，米勒指数(hkl)与晶面指数(lmn)一定相同吗？

答不一定.

1.5 试画出体心立方和面心立方(100)，(110)和(111)面上格点的分布图.

答 如图1.1,体心立方(100)，(110)，(111)面上格点的分布图如(a)，(b)，(c)所示，面心立方(100)，(110)，(111)面上格点的分布图如(d)，(e)，(f)所示.

1.6 怎样判断一个体系对称性的高低？讨论对称性有何物理意义?

答对称性可用体系所有的对称操作的集合来描述，一个体系可具有的对称操作越多，其对称性就越高.讨论对称性的物理意义可参阅教材¹1.3节中的有关论述

1.7几何结构因子与哪些因素有关？简单立方晶体的几何结构因子为何？

答几何结构因子与原胞中的原子数目，原子的种类(原子散射因子)以及原子在原胞中的位置等因素有关.简单立方晶体的几何结构因子为 $f _ { i } , f _ { i }$ 为原子散射因子.

4

第一章 晶体结构

1指陈长乐，固体物理学(第二版)，科学出版社2007年版.后文同

1.8 金刚石和硅晶体具有相同的结构类型，只有晶格常数不同，其几何结构因子是否相同?

答金刚石和硅晶体的几何结构因子的差别只是由于晶体是由不同的原子构成的，因而仅仅有不同的原子散射因子.

§1.3 习题详解

1.1 何谓布拉维格子？画出NaCl晶格所构成的布拉维格子，说明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点

解答每个格点周围情况完全相同的格子称为布拉维格子基元代表点(格点)所形成的格子都是布拉维格子

NaCl 晶格做构成的布拉维格子如图1.2所示. 每个基元包含一个Na离子，一个Cl离子.NaCl的布拉维格子为一正方体，八个顶点各有一格点，六个面中心还有一个格点，是面心立方格子.

NaCl的原胞基矢为图1.2 中的 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 }$ ，以它们为基矢构成的平行六面体就是NaCl的原胞，每个原胞包含一个格点.

1.2 在下面的例子中，其结构是不是布拉维格子？如果是，写出它的基矢;如果不是，能否挑选合适的格点组成基元，使基元的重心构成布拉维格子？

(1) 底心立方体;

(2) 边心立方体(前后左右4 个面心处各有一个格点)；

(3)蜂巢形图案的顶点所构成的二维格子

解答（1）底心立方体形成的格子是布拉维格子

从立方体的任一顶角上的格点看，与它最近邻的有四个格点，且在同一水平面上;而在立方体的上下底心任一格点上看，与它最近邻的也是四个格点，其几何位置与顶角上的格点完全等价，即所有格点等价，因此底心立方格子是布拉维格子

取顶角格点为原点的直角坐标系中，底心立方格子基矢可取为 ${ \pmb a } _ { 1 } = a { \pmb i } , { \pmb a } _ { 2 } =$ $\frac { a } { 2 } ( i + j ) , a _ { 3 } = a \pmb { k } ( a$ 为立方体的边长)

(2)边心立方体形成的格子不是布拉维格子.

从边心立方体任一顶角上的格点看，它的最近邻有八个格点分布在两竖直正交平面内;从边心处的格点上看，它有八个最近邻格点分布在横竖两正交平面内.显然不满足格点完全等价的条件，因此边心立方格子不是布拉维格子

§1.3 习题详解

5