线性代数第二版习题解答西北工业大学.pdf

第1章 行列式

1. 用对角线法则计算下列三阶行列式

$$ \frac { 1 } { 2 } - 3 = 4 $$

$$ \frac { 1 } { \frac { \cos \theta } { \sin \theta } } + \frac { - \sin \theta } { \cos \theta } $$

$$ \frac { 1 } { 2 } \times 1 0 \times \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } = ( - 1 ) ^ { 1 1 1 } \times 1 \times \left. \frac { - 3 } { - 1 } - \frac { 4 } { 1 } \right. 1 + ( - 1 ) ^ { 1 2 } \times 2 \times \left. \frac { 2 4 } { 3 } - \frac { 1 } { 1 } \right. 1 + ( - 1 ) ^ { 3 + 1 } \times ( - 1 ) \times \left. \frac { 2 } { 3 } - \frac { 3 } { 1 } \right. $$

$$ \frac { ( 2 ) \vert \cos \theta - \sin \theta \vert } { \theta } = ( - 1 ) ^ { 2 + 2 } \times ( - 1 ) \times \vert \cos \theta - \sin \theta \vert = - 1 $$

2. 求下列各排列的逆序数，并说明哪些是偶排列.

(1) 1 3 2 5 4 ; (2) 78 6 5 2 3 1 ;

$$ \therefore \vert 3 \cdots ( 2 n - 1 ) ( 2 n ) ( 2 n - 2 ) \cdots 2 ; ( 4 ) ( 2 n ) ( 2 n - 2 ) \cdots 2 \vert 3 \cdots ( 2 n - 1 ) . $$

解：(1) $0 + 0 + 1 + 0 + 1 = 2$

$$ ( 2 ) 0 + 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 6 = 1 9 $$

$$ \frac { 0 + 0 + \ldots + 0 } { n } + \frac { 0 + 2 + 4 + \ldots + 2 ( n - 1 ) } { n } = n ( n - 1 ) $$

$$ \frac { ( 4 ) . 0 + 1 + 2 + \cdots + n - 1 + n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + \cdots + 1 } { n } = \frac { n - 1 + 0 } { 2 } \times n + \frac { n + 1 } { 2 } \cdot n = n ^ { 2 } $$

3. 确定i，j使 $= a _ { 1 3 } a _ { 2 } i a _ { 3 1 } a _ { 4 } i a _ { 5 4 } a _ { 6 6 }$ 为六阶行列式中的一项

解：根据行列式定义，i.j可能是2.5当i=2，=5时逆序数 $t ( 3 2 1 5 4 6 ) = 0 + 1 + 2 + 0 + 1 + 0 = 4$ 为偶数，故此时带正号当i=5，j=2时，$t ( 3 5 / 2 4 6 ) = 0 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 5$ 为奇数，故此时带负号综上， $i = 5 , j = 2$

4. 计算下列行列式.

况整资料请关注徽信公众号：高校课后习题

(1)

$$ \frac { 1 2 3 2 } { 2 0 1 3 } $$

$$ \left| \begin{array} { c c c c } { { 5 } } & { { 2 } } & { { 2 } } & { { 2 } } \ { { 2 } } & { { 5 } } & { { 2 } } & { { 2 } } \ { { 2 } } & { { 2 } } & { { 5 } } & { { 2 } } \ { { 2 } } & { { 2 } } & { { 2 } } & { { 5 } } \end{array} \right| $$

第2章.矩阵及其运算.

1. 计算下列矩阵乘积

11. $[ \frac { 2 } { 1 } , \frac { 3 } { 1 } ] [ \frac { 1 } { 2 } - 3 ]$ ; (2) $( 2 3 - 1 ) [ \frac { 1 } { - 1 } ]$ 六
12. $[ \frac { 3 } { 2 } ] ( 1 - 2 3 )$ ) (4) $[ 3 2 1 0 ] \times \frac { 1 } { 1 } = \frac { 1 } { 2 3 0 0 }$
13. $( 1 - 0 - 1 ) [ \frac { 1 } { 0 } - 1 - 1 ] [ \frac { 1 } { - 1 } ]$ 7
14. $[ \frac { 1 } { 6 } , 1 , 0 , 0 , 0 ] \times [ \frac { 1 } { 2 } , 1 , 0 , 0 ]$
    解=11) $[ \frac { 2 1 3 } { 1 2 0 } ] [ \frac { 2 } { 3 } - \frac { 3 } { 1 } ] = [ \frac { 1 3 0 } { 5 } ]$ (2) $[ 2 3 - 1 ] \frac { 1 } { - 1 } ] = 0$ 13) $[ \frac { 3 } { 2 } ] [ 1 - 2 3 ] = [ \frac { 3 6 } { 2 } \frac { 9 } { 4 } ]$ 14) $[ \frac { 3 2 1 0 } { 0 1 0 1 } ] [ \frac { 1 } { 3 2 5 } \frac { 1 } { 1 } ] = [ \frac { 7 } { 5 } \frac { 1 1 5 1 } { 4 1 0 } ]$ (5) $[ 1 0 - 1 ] [ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } - 1 ] [ \frac { 1 } { 2 } ] = [ - 1 - 3 + ] [ \frac { 1 } { - 1 } ] = - 2$ (6) $2 - 2 0 = [ \frac { 1 } { 3 } , 2 - 2 - 3 ] ( \frac { 1 } { 3 } , 0 - 2 - 0 ) = [ 1 , 0 - 0 0 0 ] = [ 1 , 0 - 0 0 0 ]$
    2设 $A = ( \frac { 1 } { 1 } - 1 - 1 )$ $B = ( 1 , 1 , 2 , 3 )$ ，求 $3 A B - 2 A$ 及 $A ^ { T } B$
    解： $A B = [ 1 - 1 ] [ \frac { 1 } { 1 - 2 } - \frac { 3 } { 6 } ] = [ \frac { 0 } { 1 - 5 } - \frac { 1 } { 4 } ]$ $3 A B - 2 A = [ \frac { 0 } { 0 } - \frac { 3 } { 3 } 6 ] - [ \frac { 2 } { 2 } - \frac { 2 } { 2 } - \frac { 2 } { 2 } ] = [ \frac { - 2 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 0 } { 8 } ]$

第3章 矩阵的初等变换

1. 求下列矩阵的秩

$$ A = [ \frac { 3 } { 1 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 } { 4 } ] $$

$$ B = \frac { \sqrt { 3 } 6 } { \frac { 3 } { 1 } } \frac { 3 } { 2 } \frac { 3 } { 4 } $$

(3) $c = [ \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { 4 } ]$

$$ D = [ \frac { 1 } { a } , \frac { 1 } { \vdots } , \cdots , \frac { a } { i } ] $$

$$ 1 1 ) \cdot \overrightarrow { A } + \frac { 1 1 } { 1 2 } \cdot \overrightarrow { A } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { A } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } - \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \overrightarrow { B } + \frac { 1 } $$

$$ R ( A ) = 2 $$

$$ 1 2 ) 3 = [ 3 - 6 - 1 0 ] \sim [ 0 - 3 ] 1 \sim [ 1 - 3 3 ] 1 \sim [ 1 - 3 3 ] 1 8 ( B ) = 3 3 1 $$

$$ \frac { ( 3 ) } { C = [ \frac { 1 } { 6 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 6 } ] } \sim [ \frac { 1 } { 0 } , \frac { 1 } { 1 } , \frac { 1 } { 6 } ] \sim [ \frac { 1 } { 0 } , \frac { 1 } { 1 } , \frac { 1 } { 6 } ] \sim [ \frac { 1 } { 0 } , \frac { 1 } { 6 } , \frac { 1 } { 2 } ] $$

$$ a = 1 , b \neq 2 $$

$$ R ( C ) = 3 $$

$$ \frac { 1 } { 2 } a \neq 1 , b \neq 2 b \neq 1 , R ( c ) = 4 $$

$$ \frac { ( 4 ) } { 1 6 } = \frac { [ \frac { 1 } { 4 } , \sum \cdots , \sum } ] { \frac { 1 } { 6 } , \sum \cdots , \sum } ] \sim ( \frac { - 1 + ( n - 1 ) { \alpha } } { 9 } , \frac { 1 + ( n - 1 ) { \alpha } } { 1 } , \cdots , \underbrace { - 1 + ( n - 1 ) { \alpha } } _ { \times \times \cdots \times \cdots } ] { \int \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots , \cdots , \sum } \sim ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots , \cdots , 0 { \int \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots , \cdots , \cdots } ) . $$

$$ \frac { 1 } { 1 - h } $$

$$ \forall a = 1 \overrightarrow { A } , R ( \overrightarrow { D } ) = 1 $$

$$ a = \frac { 1 } { 1 - n } $$

$$ R ( D ) = n - 1 $$

2. 在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式

解：设 $[ 0 , 1 0 ]$

$$ \frac { 1 } { 2 0 } = 0 $$

$$ \frac { 1 } { 0 } \frac { 0 } { 2 } 0 \vert = 0 $$

完整资料清关注微信公众号：高校课后习题

3.求一个秩为4的方阵，它的前两行是 $( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 )$ $( 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 )$