第 17 讲 不定方程

知识与方法

• 1 、 不定方程，是指未知数的个数多于方程个数 ，且未知数受到某些限制的方程 或方程组 。

• 2 、 解不 定方程的一般方法有：

• ① 尝试法；

• ② 奇偶分析法；

• ③ 尾数分析法（如5的倍数的个位只能是0或5） 。

• ④ 倍数分析法 。

• ⑤ 整除性分析法 。

初级挑战 1

下列方程，哪些的解是唯一的？哪些是不唯一的？不唯一的请找出至少两组的 解 。

① ② ③

思维点拨 ：

我们已经学过只含有一个未知数的方程，题目中很容易得出 ① 和 ② 的解是唯一 的 。 只有 ③ 中的方程含有两个未知数 。 所以 ③ 的解不是唯一的 。 可通过尝试 法，先设定 的值，再求出 的值 。

答案： ①② 的解唯一， ③ 的解不唯一，有： ， ……（答案不唯

一） 。

能力探索 1

请找出下列方程的解,每个至少写两组 。 ① ②

答案：

① 解： ， （答案 不唯一） 。 ② 解： ， （答案不唯一） 。

初级挑战 2

若 ，且 均为非零自然数，求 的所有解 。

思维点拨 ：

要求 均为非零自然数，即 取大于0的整数，可通过尝试法，从 最小 取值开始试起，注意不遗漏不重复 。

答案：解： ， ， 。

能力探索 2[ 来源 : 学 | 科 | 网 Z|X|X|K]

若 ，且 均为非零自然数，求 的所有解 。

答案：

中级挑战 1

若 ，且 均为非 零 自然数，求 的所 有解 。

思维点拨 ：

观察发现 是偶数，40也是偶数，那么 肯定也是偶数，即 必须是偶 数 。 那么 只能为2或4 。 这就是奇偶分析法，大大缩小了取值范围，提高了解 题速度 。

答案：解： ， 。

能力探索 3

若 ，且 均为非零自然数，求 。

答案：奇偶分析法， 是偶数，27是奇数，那么 肯定是奇数，即 必须是奇 数 。 那么 只能为1或3 。 得： 。

中级挑战 2

已知 、 均为大于0的自然数，且 ，求 、 的值 。

思维点拨 ：

尾数分析法：5的倍数末尾要么是0，要么是5，所以 的末尾只有两种情况， 而和是28，末尾是8，因此 的末尾要么是8，要么是3， 是偶数，所以只可 能末尾是8 。

答案：解： 。 [来源:Zxxk.Com]

能力探索 4

1 、 已知 、 为大于0的自然数，求满足 的所 有 、 的值 。

答案：尾数分析法 。 的个位是0或5，所以 的个位是6或1， 是偶数，个 位不可能是1，那么 的个位只能是6 。 那么 ＝3或8，当 ＝8时， ＝0不符 合要求，所以只有一组解： 。

2 、 已知 、 为自然数，求满足 的所有 、 的值 。

答案：尾数分析法 。 的个位是0，所以 的个位是5，那么 ＝5或15，所以 解为： 或

聪明泉

数学家朱世杰

朱世杰（公元1300年前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附 近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若 、 祖颐：《四元 玉鉴》后序） 。 朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》 （1303） 。《 算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜 、 日本 数学的发展 。《 四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标 志，其中最杰出的