黄昆固体物理习题解答-完整版.pdf

习题解答

小木虫物理版出品

2010-4

序

经过和教师版 shiningx 版主商议，决定组织这个活动，用来帮大家汇总、解答《固体物理》习题。由物理版负责搜集、整理现有《固体物理》各种版本的习题解答，然后把有答案的习题都整理到一个电子书中。原帖网址：http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=1080435

在 这 里 我 们 要 特 别 感 谢 Abigale209 、 bdtlyh 、 shiningx 、 jennyge 、wangzf1128、akakcolin、lxq0628、yzcluster、xiaomuchong916、冰月 6110、chengran、wfliu2301、大葱1890等虫友，是他们为本版提供了答案和意见。本书后期整理工作由物理版版主小木虫：）完成。

本活动从 2008 年 12 月 1 日发起，至今已有 15 个月，一直拖到现在才整理完，在此向大家表示深深的歉意。物理版的各位斑竹都是利用业余时间为大家无偿服务，由于现实中各种各样的事情，工作效率较低，还望大家能理解。

本资料是小木虫物理版广大虫友和斑竹汗水的结晶，但是由于我们时间和精力有限，难免有错误和不尽人意之处，希望各位虫友不吝指教。

最后，感谢各位虫友一直以来对小木虫物理版的支持！同时也希望，今后能后更多的虫友来加入物理版，把这里建成大家交流的乐园！

zt978031

2010 年 4 月 7 日

目录

第一章 习 题····
第二章 习 题····
第三章 习 题··· ·10
第五章 习 题··· ·31
第六章 习 题···
第七章 习 题··· ·42

第一章 习 题

1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明

结构	x
简单立方(书P2，图1-2)	$\pi / 6 \approx 0 . 5 2$
体心立方(书P3，图1-3)	$\sqrt { 3 } \pi / 8 \approx 0 . 6 8$
面心立方(书P3，图1-7)	$\sqrt { 2 } \pi / 6 \approx 0 . 7 4$
六方密排(书P4，图1-6)	$\sqrt { 2 } \pi / 6 \approx 0 . 7 4$
金刚石(书P5，图1-8)	$\sqrt { 3 } \pi / 1 6 \approx 0 . 3 4$

解 设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为: $\rho = \frac { 4 \pi n r ^ { 3 } } { 3 V }$ （设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是

结构	r	n		$\rho$
简单立方	$a / 2$	1	$a ^ { 3 }$	$\pi / 6 \approx 0 . 5 2$
体心立方	$a / 2$		$\overline { { a ^ { 3 } } }$	$\sqrt { 3 } \pi / 8 \approx 0 . 6 8$
面心立方	$\sqrt { 3 } a / 4$	72口	$\overline { { a ^ { 3 } } }$	$\sqrt { 2 } \pi / 6 \approx 0 . 7 4$
六方密排	$\sqrt { 2 } a / 4$		$a ^ { 3 }$	$\sqrt { 2 } \pi / 6 \approx 0 . 7 4$
金刚石	$a / 2$	2	$\sqrt { 2 } a ^ { 3 }$	$\sqrt { 3 } \pi / 1 6 \approx 0 . 3 4$

1.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp）的轴比 ${ \frac { c } { 2 } } = \left( { \frac { 3 } { 8 } } \right) ^ { 1 / 2 } \approx 1 . 6 3 \mathrm { \AA }$ 3

解 由1.1题，六角密排中 $h = { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } a = 2 { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } r - { \frac { c } { 2 } }$ ，故 ${ \frac { c } { 2 } } = \left( { \frac { 3 } { 8 } } \right) ^ { 1 / 2 } \approx 1 . 6 3 3$

1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方

解 由倒格子定义 $\vec { b } _ { 1 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } \vec { b } _ { 2 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 3 } \times \vec { a } _ { 1 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } \vec { b } _ { 3 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 1 } \times \vec { a } _ { 2 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } }$

体心立方格子原胞基矢 $\vec { a } _ { 1 } = \frac { a } { 2 } ( - \vec { i } + \vec { j } + \vec { k } ) , \ \vec { a } _ { 2 } = \frac { a } { 2 } ( \vec { i } - \vec { j } + \vec { k } ) , \ \vec { a } _ { 3 } = \frac { a } { 2 } ( \vec { i } - \vec { j } + \vec { k } )$

倒格子基矢 $\vec { b } _ { 1 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } = \frac { 2 \pi } { \nu _ { 0 } } \cdot \frac { a } { 2 } ( \vec { i } - \vec { j } + \vec { k } ) \times \frac { a } { 2 } ( \vec { i } + \vec { j } - \vec { k } )$

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1

$$ = \frac { 2 \pi } { \nu _ { \scriptscriptstyle 0 } } \cdot \frac { a ^ { 2 } } { 4 } ( \vec { i } - \vec { j } + \vec { k } ) \times ( \vec { i } + \vec { j } - \vec { k } ) = \frac { 2 \pi } { a } ( \vec { j } + \vec { k } ) $$

同理 $\vec { b } _ { 2 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 3 } \times \vec { a } _ { 1 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } { = } \frac { 2 \pi } { a } ( \vec { i } + \vec { k } ) \qquad \vec { b } _ { 3 } = \frac { 2 \pi } { a } ( \vec { i } + \vec { j } )$

可见由 $\vec { b } _ { 1 } , \vec { b } _ { 2 } , \vec { b } _ { 3 }$ 为基矢构成的格子为面心立方格子

面心立方格子原胞基矢

$$ \begin{array} { r } { \vec { a } _ { 1 } = a ( \vec { j } + \vec { k } ) / 2 } \ { \vec { a } _ { 2 } = a ( \vec { k } + \vec { i } ) / 2 } \ { \vec { a } _ { 3 } = a ( \vec { i } + \vec { j } ) / 2 } \end{array} $$

倒格子基矢 $\stackrel { _ } { b _ { 1 } } = 2 \pi \frac { \stackrel { _ } { a } _ { 2 } \times \stackrel { _ } { a } _ { 3 } } { \stackrel { _ } { a } _ { 1 } \cdot \stackrel { _ } { a } _ { 2 } \times \stackrel { _ } { a } _ { 3 } } \qquad \stackrel { _ } { b _ { 1 } } = \frac { 2 \pi } { a } ( - \stackrel { _ } { i } + \stackrel { _ } { j } + \stackrel { _ } { k } )$

同理 $\bar { b } _ { 2 } = \frac { 2 \pi } { a } ( \stackrel { } { i } - \stackrel { } { j } + \stackrel { } { k } )$

$$ \bar { b } _ { 3 } = \frac { 2 \pi } { a } ( \stackrel { } { i } - \stackrel { } { j } + \stackrel { } { k } ) $$

可见由 $\vec { b } _ { 1 } , \vec { b } _ { 2 } , \vec { b } _ { 3 }$ 为基矢构成的格子为体心立方格子

1.4 证明倒格子原胞的体积为 $\frac { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { \nu _ { 0 } }$ ，其中v₀为正格子原胞体积

证 倒格子基矢 $\stackrel { _ } { b _ { 1 } } = 2 \pi \frac { \stackrel { _ } { a } _ { 2 } \times \stackrel { _ } { a } _ { 3 } } { \stackrel { _ } { a } _ { 1 } \cdot \stackrel { _ } { a } _ { 2 } \times \stackrel { _ } { a } _ { 3 } }$

$$ \overset { \vartriangle } { \vec { b } _ { 2 } } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 3 } \times \vec { a } _ { 1 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } $$

$$ \stackrel { _ } { b _ { 3 } } = 2 \pi \frac { \stackrel { _ } { a _ { 1 } } \times \stackrel { _ } { a _ { 2 } } } { \stackrel { _ } { a _ { 1 } } \cdot \stackrel { _ } { a _ { 2 } } \times \stackrel { _ } { a _ { 3 } } } $$

倒格子体积 $\nu _ { 0 } ^ { * } = \bar { b } _ { 1 } \cdot ( \bar { b } _ { 2 } \times \bar { b } _ { 3 } )$

$$ \nu _ { 0 } ^ { * } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { \nu _ { 0 } ^ { 3 } } ( \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } ) \cdot ( \vec { a } _ { 3 } \times \vec { a } _ { 1 } ) \times ( \vec { a } _ { 1 } \times \vec { a } _ { 2 } ) \qquad \nu _ { 0 } ^ { * } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { \nu _ { 0 } } $$

1.5 证明：倒格子矢量 $\begin{array} { r } { \vec { G } = h _ { 1 } \vec { b } _ { 1 } + h _ { 2 } \vec { b } _ { 2 } + h _ { 3 } \vec { b } _ { 3 } } \end{array}$ 垂直于密勒指数为 $( h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } )$ 的晶面系。证：

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2

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$$ \overrightarrow { C A } = \frac { \overrightarrow { a } _ { 1 } } { h _ { 1 } } - \frac { \overrightarrow { a } _ { 3 } } { h _ { 3 } } , \overrightarrow { C B } = \frac { \overrightarrow { a } _ { 2 } } { h _ { 2 } } - \frac { \overrightarrow { a } _ { 3 } } { h _ { 3 } } $$

容易证明 $\begin{array} { r } { \vec { G } _ { h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } } \cdot \overrightarrow { C A } = 0 } \ { \vec { G } _ { h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } } \cdot \overrightarrow { C B } = 0 } \end{array}$

$\begin{array} { r } { \vec { G } = h _ { 1 } \vec { b } _ { 1 } + h _ { 2 } \vec { b } _ { 2 } + h _ { 3 } \vec { b } _ { 3 } } \end{array}$ 与晶面系 $( h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } )$ 正交。

1.6 如果基矢 $\vec { a } , \vec { b } , \vec { c }$ 构成简单正交系

证明晶面族( )hkl 的面间距为 $d = 1 { \bigg / } { \sqrt { ( { \frac { h } { a } } ) ^ { 2 } + ( { \frac { k } { b } } ) ^ { 2 } + ( { \frac { l } { c } } ) ^ { 2 } } }$

说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理

证 简单正交系 $\vec { a } \perp \vec { b } \perp \vec { c } \vec { \quad a } _ { 1 } = a \vec { i } , \vec { a } _ { 2 } = b \vec { j } , \vec { a } _ { 3 } = c \vec { k }$

倒格子基矢 $\vec { b } _ { 1 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } \vec { b } _ { 2 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 3 } \times \vec { a } _ { 1 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } } \vec { b } _ { 3 } = 2 \pi \frac { \vec { a } _ { 1 } \times \vec { a } _ { 2 } } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } \times \vec { a } _ { 3 } }$

$$ \stackrel { _ } { b _ { 1 } } = \frac { 2 \pi } { a } \stackrel { _ } { i } , \stackrel { _ } { b _ { 2 } } = \frac { 2 \pi } { b } \stackrel { _ } { j } , \stackrel { _ } { b _ { 3 } } = \frac { 2 \pi } { c } \stackrel { _ } { k } $$

倒格子矢量 $\vec { G } = h \vec { b } _ { 1 } + k \vec { b } _ { 2 } + l \vec { b } _ { 3 } = h \frac { 2 \pi } { a } \vec { i } + k \frac { 2 \pi } { b } \vec { j } + l \frac { 2 \pi } { c } \vec { k }$

晶面族( )hkl 的面间距 $d = \frac { 2 \pi } { \left| \vec { G } \right| } = 1 \left/ \sqrt { ( \frac { h } { a } ) ^ { 2 } + ( \frac { k } { b } ) ^ { 2 } + ( \frac { l } { c } ) ^ { 2 } } \right.$

面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大

晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理

1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a，写出最近邻和次近邻原子间距

解

	简立方	面心立方	体心立方
最近邻数	6	$^ { I 2 }$	8
最近邻间距	a	$\sqrt { 2 } a / 2$	$\sqrt { 3 } a / 2$
次近邻数	12	6	6
次近邻间距	$\sqrt { 2 } a$	a	a

1.7 画体心立方和面心立方晶格结构的金属在(100)，(110)，(111)面上原子排列

解：

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体心立方

面心立方

1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向

解 (111)面与(100)面的交线的 $\mathrm { A B - A B }$ 平移，A 与 O 重合。B 点位矢 $\vec { R } _ { B } = - \vec { a } \vec { j } + a \vec { k }$

（111）与（100）面的交线的晶向 $\overrightarrow { A B } = - a \overrightarrow { j } + a \overrightarrow { k }$ —— 晶向指数 $\left[ 0 \bar { 1 } 1 \right]$

(111)面 $\Sigma ( 1 1 0 )$ 面的交线的 AB
—— 将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢
$\vec { R } _ { B } = - a \vec { i } + a \vec { j }$

(111)面与(110)面的交线的晶向 $\overrightarrow { A B } = - a \overrightarrow { i } + a \overrightarrow { j }$

――晶向指数 $\left[ \bar { 1 } 1 0 \right]$

1.10 找出立方体中保持x 轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果解：立方体中保持x轴不变，可有绕x轴转π/2、π、3π/2加上不动C1，所有对称操作构

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成群 $\mathrm { C } _ { 4 } { \mathrm { : } } \mathrm { C } _ { 4 } { \mathrm { = ~ } } \left( \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 3 } \mathrm { C } _ { 4 } \right)$ ，群中任意两元素乘积仍是群中元素。

1.11 证明六角晶体的介电常数张量为 $\left( \begin{array} { c c c } { { \varepsilon _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \ { { 0 } } & { { \varepsilon _ { 2 } } } & { { 0 } } \ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon _ { 3 } } } \end{array} \right)$

证明 若 $\vec { A }$ 是一旋转对称操作，则晶体的介电常数ε满足 $\vec { \varepsilon } = \vec { A } ^ { T } \vec { \varepsilon } \vec { A }$ ，对六角晶系，绕 x 轴（即a轴）旋转 180 度和绕z轴（即 $\vec { c }$ 轴）旋转 120度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为

$$ \vec { A } _ { x } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) $$

$$ \vec { A } _ { z } = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 / 2 } & { \sqrt { 3 } / 2 } & { 0 } \ { - \sqrt { 3 } / 2 } & { - 1 / 2 } & { 0 } \ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

假 设 六 角 晶 系 统 的 介 电 常 数 为 $\begin{array} { r } { \varepsilon = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { \varepsilon _ { 1 2 } } & { \varepsilon _ { 1 3 } } \ { \varepsilon _ { 2 1 } } & { \varepsilon _ { 2 2 } } & { \varepsilon _ { 2 3 } } \ { \varepsilon _ { 3 1 } } & { \varepsilon _ { 3 2 } } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) } \end{array}$ 则 由 $\vec { \varepsilon } = \vec { A } _ { x } ^ { T } \vec { \varepsilon } \vec { A } _ { x }$ 得

$\left( \begin{array} { c c c } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { \varepsilon _ { 1 2 } } & { \varepsilon _ { 1 3 } } \ { \varepsilon _ { 2 1 } } & { \varepsilon _ { 2 2 } } & { \varepsilon _ { 2 3 } } \ { \varepsilon _ { 3 1 } } & { \varepsilon _ { 3 2 } } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { - \varepsilon _ { 1 2 } } & { - \varepsilon _ { 1 3 } } \ { - \varepsilon _ { 2 1 } } & { \varepsilon _ { 2 2 } } & { \varepsilon _ { 2 3 } } \ { - \varepsilon _ { 3 1 } } & { \varepsilon _ { 3 2 } } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right)$ 可见 $\varepsilon = \left( \begin{array} { c c c } { { \varepsilon _ { 1 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \ { { 0 } } & { { \varepsilon _ { 2 2 } } } & { { \varepsilon _ { 2 3 } } } \ { { 0 } } & { { \varepsilon _ { 3 2 } } } & { { \varepsilon _ { 3 3 } } } \end{array} \right)$ 将上式代入 $\vec { \varepsilon } = \vec { A } _ { z } ^ { T } \vec { \varepsilon } \vec { A } _ { : }$

得

$$ \left( \begin{array} { c c c } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \ { 0 } & { \varepsilon _ { 2 2 } } & { \varepsilon _ { 2 3 } } \ { 0 } & { \varepsilon _ { 3 2 } } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { \varepsilon _ { 1 1 } } { 4 } + \frac { 3 \varepsilon _ { 2 2 } } { 4 } } & { \displaystyle - \frac { \sqrt { 3 } \varepsilon _ { 1 1 } } { 4 } + \frac { \sqrt { 3 } \varepsilon _ { 2 2 } } { 4 } } & { \displaystyle - \frac { \sqrt { 3 } \varepsilon _ { 2 3 } } { 2 } } \ { \displaystyle - \frac { \sqrt { 3 } \varepsilon _ { 1 1 } } { 4 } + \frac { \sqrt { 3 } \varepsilon _ { 2 2 } } { 4 } } & { \displaystyle \frac { 3 \varepsilon _ { 1 1 } } { 4 } + \frac { \varepsilon _ { 2 2 } } { 4 } } & { \displaystyle - \frac { \varepsilon _ { 2 3 } } { 2 } } \ { \displaystyle - \frac { \sqrt { 3 } \varepsilon _ { 2 3 } } { 2 } } & { \displaystyle - \frac { \varepsilon _ { 2 3 } } { 2 } } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) $$

$\varepsilon _ { 2 3 } = \varepsilon _ { 3 2 } = \varepsilon _ { 1 1 } = 0$ 可得到六角晶系的介电常数为 $\begin{array} { r } { \varepsilon = \left( \begin{array} { c c c } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \ { 0 } & { \varepsilon _ { 2 2 } } & { 0 } \ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) } \end{array}$ 选择相应的坐标变换可得到 $\varepsilon = { \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \ { 0 } & { \varepsilon _ { 2 } } & { 0 } \ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon _ { 3 } } \end{array} \right) }$

1.12 比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Nacl 晶格的晶系、布拉伐格子、平移群、点群、空间群。

晶格	晶系	布拉伐格子	点群	空间群
面心立方晶格	立方	面心立方	$O _ { h }$	$F _ { m 3 m }$
金刚石晶格	立方	面心立方	$O _ { h }$	$F _ { d 3 m }$
闪锌矿晶格	立方	面心立方	$T _ { d }$	$F _ { \overline { { 4 } } 3 m }$
Nacl 晶格的晶系	立方	面心立方	$O _ { h }$	$F _ { m 3 m }$

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第二章 习 题

2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 $\alpha = 2 \ln 2$

证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有

$$ { \frac { \alpha } { r } } = \sum _ { j } { ' { \frac { ( \pm 1 ) } { r _ { i j } } } } = 2 [ { \frac { 1 } { r } } { - { \frac { 1 } { 2 r } } } { + { \frac { 1 } { 3 r } } { - { \frac { 1 } { 4 r } } { + \ldots } } } ] $$

前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 $r _ { i }$ 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，
故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为1 1 1
2[1 = + ...] +2 3 x ⁴x
(1 )_n x x∵A + = − + ... +x 3 4
当 X=1 时，有 $1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + \ldots = \ell _ { n } 2$ $\textstyle { \alpha = 2 \ell _ { n } 2 }$

2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）

解 $u ( r ) = - \frac { \alpha e ^ { 2 } } { r } + \frac { C } { r ^ { n } }$

由 $\frac { d u } { d r } \Big | _ { r _ { 0 } } = \frac { \alpha e ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { n C } { r _ { 0 } ^ { n + 1 } } = 0$ 解 可 得 $r _ { 0 } ( e ) = \left( \frac { n C } { \alpha e ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { n + 1 } }$ 于 是 当 e 变 成 $2 e$ 时 有$r _ { 0 } ( 2 e ) = \left( \frac { n C } { 4 \alpha e ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } = 4 ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } r _ { 0 } ( e )$

结合能为 $u ( r ) = - \frac { \alpha e ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \biggl ( 1 - \frac { 1 } { n } \biggr )$ 当 e 变成 2e 时有 $u ( 2 e ) = - { \frac { 4 \alpha e ^ { 2 } } { r _ { 0 } ( 2 e ) } } { \left( 1 - { \frac { 1 } { n } } \right) } = u ( e ) \times 4 ^ { \frac { n } { n + 1 } }$

2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为 $u ( r ) = - \frac { \alpha } { r ^ { m } } + \frac { \beta } { r ^ { n } }$

求 1）平衡间距 r₀ 2）结合能 W（单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取$m = 2 , n = 1 0 , r _ { 0 } = 0 . 3 n m , W = 4 e V$ ，计算 $\alpha , \beta$ 值。

解 1）晶体内能 $U ( r ) = { \frac { N } { 2 } } ( - { \frac { \alpha } { r ^ { m } } } + { \frac { \beta } { r ^ { n } } } )$

平衡条件 $\left. \frac { d U } { d r } \right| _ { r = r _ { 0 } } = 0 \qquad - \frac { m \alpha } { r _ { 0 } ^ { m + 1 } } + \frac { n \beta } { r _ { 0 } ^ { n + 1 } } = 0 \qquad r _ { 0 } = ( \frac { n \beta } { m \alpha } ) ^ { \frac { 1 } { n - m } }$

《固体物理》习题解答

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2. 单个原子的结合能 $W = - \frac { 1 } { 2 } u ( r _ { 0 } )$

$$ u ( r _ { 0 } ) = ( - \frac { \alpha } { r ^ { m } } + \frac { \beta } { r ^ { n } } ) \Bigg | _ { r = r _ { 0 } } \qquad W = \frac { 1 } { 2 } \alpha ( 1 - \frac { m } { n } ) ( \frac { n \beta } { m \alpha } ) ^ { \frac { - m } { n - m } } $$

3. 体弹性模量 $K = ( \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } U } { \hat { \sigma } V ^ { 2 } } ) _ { V _ { 0 } } \cdot V _ { 0 }$

晶体的体积 $V = N A r ^ { 3 }$ —— A为常数，N为原胞数目

晶体内能 $\begin{array} { c } { { U ( r ) = \displaystyle \frac { N } { 2 } ( - \frac { \alpha } { r ^ { m } } + \frac { \beta } { r ^ { n } } ) } } \ { { = \displaystyle \frac { N } { 2 } ( \frac { m \alpha } { r ^ { m + 1 } } - \frac { n \beta } { r ^ { n + 1 } } ) \frac { 1 } { 3 N A r ^ { 2 } } } } \end{array}$

$$ \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial V ^ { 2 } } = \frac { N } { 2 } \frac { \partial r } { \partial V } \frac { \partial } { \partial r } [ ( \frac { m \alpha } { r ^ { m + 1 } } - \frac { n \beta } { r ^ { n + 1 } } ) \frac { 1 } { 3 N A r ^ { 2 } } ] $$

体弹性模量 $K = ( \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } U } { \hat { \sigma } V ^ { 2 } } ) _ { V _ { 0 } } \cdot V _ { 0 }$

$$ \left. { \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } U } { { \hat { \sigma } } V ^ { 2 } } } \right| _ { V = V _ { 0 } } = { \frac { N } { 2 } } { \frac { 1 } { 9 V _ { 0 } ^ { 2 } } } [ - { \frac { m ^ { 2 } \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } + { \frac { n ^ { 2 } \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } - { \frac { m \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } + { \frac { n \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } ] $$

由平衡条件 $\left. \frac { \partial U } { \partial V } \right| _ { V = V _ { 0 } } = \frac { N } { 2 } ( \frac { m \alpha } { r _ { 0 } ^ { m + 1 } } - \frac { n \beta } { r _ { 0 } ^ { n + 1 } } ) \frac { 1 } { 3 N A r _ { 0 } ^ { 2 } } = 0$

$$ \frac { m \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } { = } \frac { n \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } $$

$$ \left. { \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } U } { { \hat { \sigma } } V ^ { 2 } } } \right| _ { V = V _ { 0 } } = { \frac { N } { 2 } } { \frac { 1 } { 9 V _ { 0 } ^ { 2 } } } [ - { \frac { m ^ { 2 } \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } + { \frac { n ^ { 2 } \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } ] $$

体弹性模量 $K = ( \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial V ^ { 2 } } ) _ { \nu _ { 0 } } \cdot V _ { 0 } \qquad U _ { 0 } = \frac { N } { 2 } ( - \frac { \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } + \frac { \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } )$

$$ \left. { \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } U } { { \hat { \sigma } } V ^ { 2 } } } \right| _ { V = V _ { 0 } } = { \frac { N } { 2 } } { \frac { 1 } { 9 V _ { 0 } ^ { 2 } } } [ - { \frac { m ^ { 2 } \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } + { \frac { n ^ { 2 } \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } ] $$

$$ \left. { \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } U } { { \hat { \sigma } } V ^ { 2 } } } \right| _ { V = V _ { 0 } } = { \frac { N } { 2 } } { \frac { 1 } { 9 V _ { 0 } ^ { 2 } } } [ - m { \frac { m \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } + n { \frac { n \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } ] $$

$$ ( { \frac { m \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } = { \frac { n \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } ) \qquad = - { \frac { N } { 2 } } { \frac { n m } { 9 V _ { 0 } ^ { 2 } } } [ - { \frac { \alpha } { r _ { 0 } ^ { m } } } + { \frac { \beta } { r _ { 0 } ^ { n } } } ] $$

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