材料力学

第五章 杆件的变形和位移

1

第五章杆件的变形和位移

本章内容:

• 5.1 杆件的拉伸和压缩变形 5.2 圆轴的扭转变形 5.3 梁的弯曲变形

2

第五章杆件的变形和位移

弯曲变形的研究

u 1695年提出了梁弯曲的平截面假设； u 由此证明梁的曲率和弯矩成正比；

u 但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹 性模量的定量结果，致使该理论并没有得到广 泛的应用。

P
ρ
x
y

雅克布·伯努利 Jakob Bernoulli （1654-1705) 英国科学家

3

第五章杆件的变形和位移

得出悬臂梁自由端的挠度

伯努利 — 欧拉梁

欧拉 （Leonhard Euler，17071783），1707年出生在瑞士的巴塞 尔城。欧拉是18世纪科学界的代表 人物，是那个时代的巨人。他是历 来最有才华、最博学的人物之一， 也是历史上最多产的一位数学家。

4

第五章杆件的变形和位移

1826年纳维埃在他的《材料力学》（第一版） 中给出正确的结论：

u 梁弯曲时一侧纤维伸长；

u 另一侧纤维缩短；

u 必然存在既不伸长也不缩短的中性层； u 中性层过横截面的形心。

法国科学家纳维埃 （Clande-LouisMarie-Henri Navier ）

5

第五章杆件的变形和位移

5.1 杆件的拉伸和压缩变形

轴向变形（纵向变形）

在轴向外力作用下，杆件的内力是轴力，使杆沿其轴线方向发生伸 长或缩短。

横向变形

在轴向外力作用下，杆沿其横向相应变小或增大。

6

第五章杆件的变形和位移

5.1 杆件的拉伸和压缩变形

轴向变形 横向变形

轴向应变 横向应变

7

第五章杆件的变形和位移

5.1 杆件的拉伸和压缩变形

根据胡克定律

即有

轴向受力杆件的轴向位移为

E — 材料的弹性模量，由拉伸试验在弹性变形阶段测定。 EA — 杆件的抗拉（压）刚度。

上式表明：杆的轴向位移与轴力及杆长成正比，与 EA 成反比。

8

5.1 杆件的拉伸和压缩变形

第五章杆件的变形和位移

当杆件受到多个轴向力作用，且每段的杆长、弹性模量、截面尺寸 都不是常量时，杆件两端的总位移可分段计算，代数叠加而成，即

泊松比

同一材料的横向应变与轴向应变之比

或

9

5.1 杆件的拉伸和压缩变形

第五章杆件的变形和位移

例5.1 一木柱受力如图所示，柱的横截面为边长 200mm 的正方形，材料可 认为服从胡克定律，其弹性模量 E ＝ 10GPa ，如不计柱的自重，试求木柱顶 端 A 截面的位移。 解：首先作立柱的轴力图

AB 段：

B C 段：

全杆的总变形为

10