第 22 讲 连续数问题

知识与方法

若干个自然数依次差1，这些自然数叫做连续自然 数 。 依次差2的奇数，叫 做连续奇数 。 依次差2的偶数，叫做连续偶数 。 在解连续数问题的过程中，要注意以下几点：

• （1）奇数个连续数的平均数就是中间数 。

• （2）偶数个连续数的平均数是中间两数的平均数 。

• （3）稍复 杂的连续数问题可以用方程求解 。

初级挑战 1

• 1 、 计算从2开始的5个连续自然数的平均数是多少？你发现了什么？

平均数：_______________________________

我发现了 ： 奇数个连续数的平均数就是_____________ 。

• 2 、 计算从3开始的6个连续奇数的平均数是多少？你发现了什么？

平均数：_______________________________

我发现了 ： 偶数个连续数的平均数就是________________ 。

思维点拨：

先找出这些数，再根据平均数＝总和÷个数求出 。 然后观察平均数和这些数 的特点能发现什么？

答案：

• 1 、 平均数为（2＋3＋4＋5＋6）÷5＝4，发现了奇数个连续数的平均数正好是中 间数 。

• 2 、 平均数为（3＋5＋7＋9＋11＋13）÷6＝8，发现了偶数个连续数的平均数正 好是中间两数的平均数 。

能力探索 1

计算：（1）170＋171＋172＋173＋174＋175＋176

（2）62＋64＋66＋68＋70＋72＋74＋76

答案：（1）170＋171＋172＋173＋174＋175＋176＝173×7＝1211 （2）62＋64＋66＋68＋70＋72＋74＋76＝69×8＝552

初级挑战 2

五个连续自然数的和为100，求这五个数各是多少？

思维点拨：根据奇数个连续数的平均数正好是中间数,可先算出中间数是 ( ) 。

答案 ： 中间数：100÷5＝20 所以这五个数为：18，19，20，21，22

能力探索 2

• 1 、 五个连续偶数的和是280，求五个连续偶数中最小的一个？

答案 ： 中间数：280÷5＝56

最小的数为：56－2×2＝52 。

• 2 、 有七个数，其中每后一个数都比前一个数多3，且这七个数的和是147 。 这 七个数中的最大数与最小数各是多少？

答案：中间数是147÷7＝21

这七个数分别是：12 、 15 、 18 、 21 、 24 、 27 、 30

最大数：30 最小数：12

中级挑战 1

6个连续自然数的和为213，求这6个数中最大的数是多少？

思维点拨：根据偶数个连续数的平均数正好是中间两数的平均数，可先确定 中间两个数 。

答案 ： 平均数：213÷6＝35.5，中间两个数为35和36，因此最大的数为36＋2＝ 38 。

能力探索 3

1 、 10个连续奇数的和是280，求这10个连续奇数 。

答案：平均数：280÷10＝28，中间数为27和29 。

这10个连续奇数为：19 、 21 、 23 、 25 、 27 、 29 、 31 、 33 、 35 、 37 。

2 、 6个连续偶数的和是366，求这6个偶数 。

答案：平均数：366÷6＝61，中间数为60和62 。

这六个偶数为56 、 58 、 60 、 62 、 64 、 66 。

中级挑战 2

十五个连续自然数中，最大数是最小数的3倍 。 这十五个数的和是多少？

思维点拨：假设这15个自然数中最小数为 𝑥 ,那么最大数为3 𝑥 ，而15个连续自 然数中，最小数与最大数相差_____ 。 因此可列出方程为

___________________，再求解 。

答案：根据题意列方程：3 𝑥 － 𝑥 ＝14，解得 𝑥 ＝7，即最小的数为7，那么这15个 数分别为7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 …20 、 21，所以，这15个数的和为7＋8＋9＋…＋ 21＝14× 15＝210 。

能力探索 4

1 、 在七个连续偶数中，从小到大第二个数与第六个数的和是36，求这七个连续 偶数各是多少？

答案：设第二个数为 𝑥 ,那么第六个数为 𝑥 ＋8，有： 𝑥 ＋ 𝑥 ＋8＝36，解得 𝑥 ＝14，因 此这7个连续偶数是：12 、 14 、 16 、 18 、 20 、 22 、 24 。

2 、 三个连续奇数的和 比其中最大的数多72，这三个数分别是多少？[来源:学科网ZXXK]

答案：设中间的奇数为 𝑥 ，那么有：3 𝑥 －（ 𝑥 ＋2）＝72，解得 𝑥 ＝37，那么这三 个数分别是35 、 37 、 39 。

聪明泉

沈括与 《 梦溪笔谈 》

在我国北宋时代，有一位非常博学多才 、 成就显著的科学家，他就是沈括 ──我国历史上最卓越的科学家之一 。 他精通天文 、 数学 、 物理学 、 化学 、 生物 学 、 地理学 、 农学和医学；他还是卓越的工程师 、 出色的军事家 、 外交家和政 治家；同时，他博学善文，对方志律历 、 音乐 、 医药 、 卜算等无所不 精 。 他晚 年所著的《梦溪笔谈》详细记载了劳动人民在科学技术方面的卓越贡献和他自己 的研究成果，反映了我国古代特别是北宋时期自然科学达到的辉煌成就 。《 梦 溪笔谈》不仅是我国古代的学术宝 库，而且在世界文化史上也有重要的地 位 。《 梦溪笔谈》是中国科学史上的坐标，是沈括一生社会和科学活动的总结， 内容极为丰富，包括天文 、 历法 、 数学 、 物理 、 化学 、 生物 、 地理 、 地质 、 医 学 、 文学 、 史学 、 考古 、 音乐 、 艺术等共600余条 。 其中200来条属于科学技术 方面，记载了他的许多发明 、 发现和 真知灼见 。

拓展挑战

11至18八个连续自然数的和加上1992，所得结果恰巧等于另外八个连续 自然数的和，这另外八个连续自然数中，最小的是多少？

思维点拨：11至18八个连续自然数的和加上1992，所得结果恰 巧等于另外八 个连续自然数的和，可看成是1992平均分配给11至18这八个数，每个数都多了 1992÷8＝249，因此，这八个连续自然数中，最小的是11＋249＝260 。